Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Equação diferencial de primeira ordem é da forma:

Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem

(1)

Pode ser resolvida por integração. A solução é

Equação Separável

Definição – Equação Separável

Uma equação diferencial da forma

=

é chamada de separável ou tem variáveis separáveis.

Observe que uma equação separável pode ser escrita como

(2)

É imediato que (2) se reduz a (1) quando h(y) = 1.

Agora, se y = f (x) denota uma solução para (2), temos

logo,

Mas dy = f´(x)dx, a eq. acima é o mesmo que

Equação Homogênea

Definição – Função Homogênea

Se uma função f satisfaz

Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.

Definição – Equação Homogênea

Uma equação diferencial da forma

é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

Método de Solução

Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição y = ux ou x = vy, em que ‘u’ e ‘v’ são novas variáveis independentes, transformará a equação diferencial de primeira ordem separável . Para ver isso, seja y = ux; então, sua diferencial dy = u dx + x du. Substituindo na eq. Homogênea, temos

Equação Exata

Definição – Equação Exata

Uma expressão diferencial

é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.

Teorema – Critério para uma diferencial exata

Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e