Equações diferenciais de 1ª ordem lineares

Universidade Federal dos
Vales do Jequitinhonha e Mucuri

Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Docente: Michely Santos Oliveira
Disciplina: Equações Diferenciais e Integrais
Turma: B

Equações diferenciais de primeira ordem:
Equações lineares

Discentes: Luana Elisa Siqueira Letícia Morais Clarindo Matrícula: 20131020104 20131020085

Diamantina - Julho de 2014
Equações diferenciais de primeira ordem
As equações diferenciais de primeira ordem podem ser escritas por:

y' = f (t, y) (01)

É chamado solução, uma função que satisfaz a equação (01) para todo t em algum intervalo.

Equações diferenciais de primeira ordem lineares

Uma equação linear de primeira ordem é uma equação do tipo:

y' + p(t)y = g(t) com p e g sendo funções de t. Leibniz observou que a equação (01) se tornava facilmente integrável se a multiplicássemos por uma função .
Precisamos determinar a função .
Como Leibniz, multiplicando a equação diferencial linear de primeira ordem pela função

(02)

A equação (02) se torna facilmente integrável se o primeiro membro pode ser escrito por:

(03)

Assim, para que as equações sejam compatíveis, precisamos ter:

; com y diferente de zero, temos:

Utilizando a regra da cadeia e integrando em relação a t, obtemos:

Considerando , temos:

A função é chamada de fator integrante.

Exemplo: Um material radioativo, tal como um dos isótopos de tório, o tório-234, se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se Q(t) é a quantidade presente no instante t, então dQ/dt = -rQ, onde r > 0 representa a taxa de decaimento. Se 100 mg de tório-234 decaem a 82,04 mg em uma semana, determine a taxa de decaimento r.

Solução:
Q' + rQ = 0

Multiplicando a EDO por

Integrando dos dois lados, obtemos:

; C é uma constante e