Equação geral da circunferência

A circunferência é uma figura plana que pode ser representada no plano cartesiano, utilizando os estudos relacionados à Geometria Analítica, responsável pelo estabelecimento de relações entre a álgebra e a geometria. A circunferência pode ser representada no eixo de coordenadas através da utilização de equação. Uma dessas expressões matemáticas é chamada de equação normal da circunferência ou equação geral da circunferência.
A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida.

(x – xc)2 + (y –yc)2 = R2(x2 – 2xcx + x2c) + (y2 – 2ycy + y2c ) = R2

Reagrupando: x2 + y2 – 2xcx – 2yc y + x2c + y2c – R2 = 0

Ou de uma maneira generalizada:

x2 + y2 + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência

Onde:

Podemos retirar as informações necessárias (coordenadas do centro da circunferência e o raio) para a construção da circunferência de forma direta. Desse modo, (xc,yc) é o centro da circunferência e r é o raio. Como mostrado no gráfico abaixo:

Exemplo de uma equação reduzida para se transformar em geral:
Encontre a equação geral da circunferência centrada em (1,1) e raio 4.
De fato, a expressão geral da circunferência não deve ser decorada, afinal é possível obter essa expressão partindo da equação reduzida, sendo que esta é mais fácil de ser expressa.

Exemplo de uma equação geral para uma reduzida:
Encontre a forma reduzida da seguinte equação.

Primeiramente devemos agrupar os termos de mesma incógnita.

Agora, para cada termo x e y, completaremos quadrados para obtermos os trinômios.

Os trinômios destacados são trinômios quadrados perfeitos. Bem sabemos que existe uma forma fatorada para estes trinômios.

Para obtermos a forma reduzida por completo, basta isolarmos o termo independente e obtermos o quadrado que resulta neste termo.

Com isso, temos que a equação dada representa uma circunferência de raio r=4 e centro C(2,1).

Exercícios:

01) Escreva a