Equação diferencial em vigas

APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EM VIGAS
Problema: Imaginemos uma viga isolada de estrutura de certo empreendimento, para a determinação da carga devemos levar em conta o próprio peso desta viga “q” adicionado o peso resultante da parede sobre esta viga “p”. Esta carga “w” representada por q + p, é chamada de carregamento e tem como unidade kg/m, ou seja, o peso da viga mais o peso da parede sobre esta viga gera certa quantidade de peso em kg sobre cada metro ao longo do comprimento da viga analisada. A viga em análise está apoiada sobre pilares em cada uma de sua extremidade (biapoiada), cada um desses pilares representados pelas letras A e B, fornecerão as respectivas reações devido o carregamento aplicado. Conhecida a viga, os conceitos de equações e da mecânica dos sólidos, determine a equação da linha elástica (deflexão) de uma viga simples AB suportando um carregamento uniforme de intensidade w, atuando por toda a extensão da viga. (Nota: a viga tem comprimento L e rigidez à flexão El constante).
Solução: Primeiro caso. Determinando o momento fletor desta viga. O momento fletor em uma secção transversal distante x de um dos apoios fixos é obtido considerando a reação no mesmo que é igual a wL/2. Consequentemente, a expressão para o momento fletor M é: M = wLx/2 – wx²/2. Segundo caso. Considerando a equação diferencial do momento fletor para uma viga prismática El d²v/dx² = M, e substituindo o M, obtemos: El d²v/dx² = wLx/2 – wx²/2. Terceiro caso. Essa equação pode ser utilizada para se obter a inclinação e a elástica da viga dy/dx. Reescrevendo a equação diferencial no segundo caso onde há uma equação de variáveis separáveis, e integrando ambos os lados: El dv/dx = (wLx/2 – wx²/2) dx -> El dv/dx = wLx²/4 – wx³/6 + C1. A equação diferencial mostrada no terceiro caso representa a inclinação da viga (o). Para determinarmos C1 na equação 3 observamos, a partir da simetria da viga e de seu carregamento, que a inclinação da curva de flexão na metade da