Equação da onda

Demonstração da equação da onda a partir das equações de Maxwell
André Guilherme P. Alves
Universidade Federal Fluminense, TEC.

Resumo

A equação da onda eletromagnética é obtida diretamente da manipulação algébrica das Equações de Maxwell, aqui mostraremos detalhadamente como é feita a demonstração e discutiremos em seguida os aspectos da equação obtida.

1. Introdução As Equações de Maxwell são um grupo de quatro equações diferenciais parciais que junto com a expressão da força de Lorentz descrevem todos os fenômenos elétricos e magnéticos da física clássica. Seu desenvolvimento matemático pelo escocês James Clerk Maxwell foi uma contribuição bastante significativa para toda uma revolução tecnológica que se iniciara no século XIX. Podemos citar o desenvolvimento de telefones celulares, GPS, estações de rádio, televisões como exemplo de sua grande utilidade e aplicação prática. Na seção 2 faremos a demonstração matemática da equação da onda partindo das Equações de Maxwell e na seguinte discutiremos os aspectos da equação demonstrada, detalhando o resultado obtido.

2. Demonstração matemática A primeira etapa da nossa demonstração é escrever as Equações de Maxwell adaptadas para o vácuo, onde não há cargas nem correntes elétricas, que serão nosso ponto de partida para chegar à Equação da Onda.
∇.E=0 1
∇.B=0 2
∇xE=-∂B∂t (3)
∇xB=μ0ε0∂E∂t 4 Onde: E→ vetor campo elétrico B→ vetor campo magnético ∇→ operador nabla, operamos como se fosse o vetor (∂∂x,∂∂y,∂∂z) μ0→ permeabilidade magnética do vácuo ε0→ permissividade elétrica do vácuo Operemos com o rotacional em ambos os membros da equação (3):
∇x∇ x E=-∇x∂B∂t Sabendo-se da identidade vetorial:
∇x∇ x E=∇(∇.E)-∇²E Onde podemos afirmar que ∇.E=0 pela equação (1) e ∇²é o operador laplaciano, reescrevemos a equação operada na seguinte forma:
-∇²E=-∇x∂B∂t (5) Derivando a equação (4) em relação ao tempo, e invertendo a ordem das derivadas no tempo e no espaço