Equação da linha elastica

Trabalho II Equação da linha elástica

Deformação em vigas horizontais

Uma viga horizontal suposta homogênea e uniforme sujeita a uma carga uniformemente distribuída sofre uma deformação conforme a figura abaixo

A B

Neste caso tem se uma flexão simples, onde as fibras superiores estão submetidas a um esforço de compressão, enquanto as fibras inferiores têm um esforço de tração.
As fibras que não sofrem esforço nem de tração, nem de compressão, constituem uma superfície neutra.

A Fibra que vai do começo ao fim do tracejado que inicialmente coincidia com o eixo da viga, encontra-se agora na superfície neutra, e é chamada de linha elástica.
Deduzindo a equação da curva.

X

C

B A

D

Considere uma equação transversal da viga a uma distância x da extremidade A. Seja CD a interseção com a superfície neutra e P o traço da linha elástica nesta seção.

Sabendo da mecânica que o M em relação a CD é dado por:

EI M = R (1)

Onde:

E = Módulo de elasticidade da estrutura.
I= Momento de inercia da seção transversal, em relação a CD.
R= Raio de curvatura da linha elástica, no ponto P.

Sabemos o calculo diferencial que o raio de curvatura é dado por:

(2)

Como a inclinação da linha elástica é muito pequena, podemos impor que dy=o, então (2) fica. dx 1 R = d²y (3) dx²

Substituindo (3) em (1) M= EI, vem à equação diferencial que define a linha elástica. R

d²y = M dx² EI