EQUA ES EXATAS

Curso: Engenharia Civil. 3º Período
Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Data ______/______/______ Professora: Joemília Almeida
Nome do Aluno (a): _______________________________________________ 5ª LISTA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIA EXATAS. Definição
: Uma equação diferencial da forma
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é chamada exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Ou seja, existe uma função f(x, y) tal que a diferencial total de f(x, y) é M(x, y)dx + N(x, y)dy . Nesse caso, a solução da equação é f (x, y) = C.
Teorema
: Sejam
M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa região retangular do plano xy. Então, uma condição necessária e suficiente para que
∂N
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 seja uma equação diferencial exata é ∂M
∂y = ∂x

Método de Resolução:
Dada a equação
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
∂N
I) Mostre que ∂M
∂y = ∂x
∂f
II) Suponha que ∂x
= M (x, y) , daí podemos encontrar f integrando M (x, y) , em relação a x, considerando y constante, escrevemos,

f (x, y) = ∫ M (x, y)dx + g(y)
,* em que a função arbitrária g(y) é a constante

de integração.
III) Agora derivando * com relação a y e iguale a N (x, y)
,
isto é

∂f
∂
∂y
= N (x, y)→ ∂y
[∫ M (x, y)dx] + g′(y) = N(x, y) **

IV) Integre ** em relação a y e substitua em *
Exemplos:
a) Resolva as EDO Exatas:
a) 2xy dx + ( x2 − 1)dy = 0
b) (3x2 + 2y)dx + (2x + 2y)dy = 0
c) (2xcosy − ex)dx − (x2seny)dy = 0

d) Resolva o problema do valor inicial da equação (cosx senx − xy2)dx + y(1 − x2)dy = 0 , y(0) = 2

EXERCÍCIO
01) Verifique se as equações dadas são exatas . Se for resolva.
a) (2x − 1)dx + (3y + 7)dy = 0 b) (2x − y)dx − (x + 6y)dy = 0
c) (5x + 4y)dx + (4x − 8y3)dy = 0
d) (2y2x − 3)dx + (2yx2 + 4)dy = 0
e) (x + y)(x − y)dx + x(x −