EP1 CIII 2013 2 Aluno

Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca
˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸ca
˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

´
EP1 – CALCULO
III
Exerc´ıcio 1 Seja a fun¸c˜ao vetorial α(t) = (1 + 2cos(t)) i + (−2 + 3sen(t))j, com 0 ≤ t ≤
Determine o dom´ınio de α, fa¸ca um esbo¸co da imagem de α e calcule α

π
6

π
.
4

.

Exerc´ıcio 2 Determine uma parametriza¸c˜ao das seguintes curvas:
(a) a parte da par´abola y = 3x2 de (−1, 3) a (2, 12);
(b) o gr´afico de y 3 = x de (0, 0) a (8, 2);
(c) circunferˆencia de centro (1, −2) e raio 3;
(d) elipses de semi-eixos a = 3 paralelo ao eixo x, b = 4 paralela do eixo y e centro (2, 3).

Exerc´ıcio 3 Para cada curva param´etrica, em que t ∈ R, determine a equa¸c˜ao cartesiana e esboce seu gr´afico, indicando sua orienta¸c˜ao. Note que as quatro parametriza¸c˜ao satisfazem a equa¸c˜ao cartesiana y = x2 .
(a)

x = t, y = t2 ;

(b)

x = t2 , y = t4 ;

x = sen(t), y = 1 − cos2 (t);

(c)

x = et y = e2t .

(d)

Exerc´ıcio 4 Determine uma parametriza¸c˜ao para:
(a) a reta que ´e a interse¸c˜ao dos planos 2x + y + 4z = 6 e 2x − y + z = 4;
(b) a curva de interse¸c˜ao entre a esfera x2 + y 2 + z 2 = 9 e o plano z = 2.
(c) a curva de interse¸c˜ao entre os paraboloides z = 18 − x2 − y 2 e z = x2 + 5y 2 .
(d) a curva de interse¸c˜ao dos paraboloides z = x2 + y 2 e y = x2 + z 2 .

Exerc´ıcio 5 Calcule os seguintes limites
(a) lim t→3 t3 − 27 sen(t − 3)
, 2
2
t − 5t + 6 t − 4t + 3

(b) lim t→1 t2 − 1
, (t3 t4 − 1

− 1) cos

t2

1
−1

Exerc´ıcio 6 .
(a) Seja α(t) =

2t
1 + t3 t , 2
,
sen(πt) t − 4 t2 + 1

, t ∈ R. Determine os pontos de continuidade de α(t).

(b) Determine se a fun¸c˜ao α(t) =







sen(t)
,1
t

(0, 1),
´e cont´ınua em t = 0. Justifique sua resposta.

,

t = 0, t = 0.