engenhria

Máximos e Mínimos e
Integrais Múltiplas

Máximos e Mínimos

Cálculo Diferencial e Integral IV

Exemplo 4

Exemplo 4

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x + 10,
Determine, se existir, o ponto crítico.
Seja f uma função de duas variáveis, um par (a,b) é ponto crítico de f se
(i) fx(a,b) = 0 e fy (a,b) = 0, ou
(ii) fx(a,b) ou fy(a,b) não existe.

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x + 10,
Determine, se existir, o ponto crítico.
Então, calcula-se a derivada primeira em relação a x a y:

fx(x,y) = -10x + 4y + 16 fy(x,y) = + 4x – 2y
Agora, devemos determinar o zero de cada uma das derivadas de primeira ordem

Exemplo 4

Exemplo 4

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x + 10,
Determine, se existir, o ponto crítico.

-10x + 4y + 16 = 0
+ 4x – 2y = 0

-10x + 4(2x) + 16 = 0

(+ 4x)/2 = y
2x = y 2(8) = y

Então, os zeros de cada uma das derivadas são:

-10x + 4y + 16 = 0

+ 4x = 2y

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x + 10,
Determine, se existir, o ponto crítico.

-10x + 8x = -16
-2x = -16

16 = y

x=8

Exemplo 5

x=8

16 = y
O ponto crítico será:

f(x,y) = -5.8² + 4.8.16 – 16² + 16.8 + 10 f(x,y) = -320 + 512 – 256 + 128 + 10 f(x,y) = 74

Exemplo 5

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x + 10,
Determine, o discriminante

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x + 10,
Determine, o discriminante
Discriminante = D(x,y) = fxx(x,y) fyy(x,y) - [ fxy(x,y) ]²

Discriminante

fx(x,y) = -10x + 4y + 16

fxx(x,y) = -10

fy(x,y) = + 4x – 2y

fy(x,y) =– 2

Seja f uma função de duas variáveis dotada de derivadas parciais segundas contínuas. O discriminante D de f é :
D(x,y) = fxx(x,y) fyy(x,y) - [ fxy(x,y) ]2

fxy(x,y) = 4

fyx(x,y) = 4

Exemplo 5

Exemplo 5

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x + 10,
Determine, o discriminante
Discriminante = D(x,y) = fxx(x,y) fyy(x,y) - [ fxy(x,y) ]²

Dada a função f(x,y) = -5x² + 4xy – y² + 16x +