Engenharia

Determinantes - Matemática II - 2004/05

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Cálculo do determinante através do Teorema de Laplace
Seja A = [aij ] i=1;:::;n uma matriz quadrada de ordem n. j=1;:::;n Menor (i; j) da matriz A; Ai;j ; é o determinante da matriz que se obtém de A retirando-lhe a linha i e a coluna j. Chama-se complemento algébrico ou co-factor de aij a ( 1)i+j Ai;j ; ^ que se designa por Ai;j : Exemplo: 2 1 2 3 5 8 2 # 2 1 2 2 7 3 8 2 # 5 3

6 Sendo A = 4 A1;2 = det "

7 2 5 ; temos, por exemplo: 7 ^ = 3 e A1;2 = ( 1)1+2 A1;2 = ^ 34 e A1;2 = ( 1)3+1 A1;2 = 3

A3;1 = det

"

=

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Teorema de Laplace: Seja A = [aij ] i=1;:::;n uma matriz quadrada de ordem n: Então j=1;:::;n n X j=1 n X i=1

(i) Se l 2 f1; 2; :::; ng, então det (A) = linha l) (ii) Se c 2 f1; 2; :::; ng, então det (A) = coluna c) Notas:

^ alj Al;j : (Desenvolvimento ao longo da

^ aic Ai;c : (Desenvolvimento ao longo da

1. O Teorema de Laplace estabelece que o determinante de uma matriz se pode obter efectuando a soma do produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos e reduz o cálculo de um determinante de ordem n ao cálculo de determinantes de ordem n 1:

2. Para aplicação do Teorema de Laplace convém escolher uma linha ou coluna da matriz com o maior número possível de zeros. 3. Muitas vezes, para calcular o determinante de uma matriz, usam-se simultaneamente o método de eliminação e o teorema de Laplace. Começa-se o método de eliminação para obter, por exemplo na 1a coluna, apenas um elemento não nulo e aplica-se de seguida o desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna.

Determinantes - Matemática II - 2004/05 Exemplos: 2 2 0 0 0 3 2 3

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6 6 2 2 6 6 1. det 6 4 5 6 6 6 4 1 1 0

7 = = 2 2 ( 1)2+2 det = 5 2 " " 0 2 Desenv. Desenv. a 4 coluna 2a coluna 2 2 2 ( 4 ) = 4 2 16 = " Det. ordem 2 3 2 3 2 2 3 3 6 9 0 1 5 1 2 3 6 7 7 6 6 7 = det 4 0 1 5 5 = 2. det 4 3 3 det 4 0 1 5 5 = 6 9 5 " " 2 6 1 2 6 1 2 6 1 1 L1 $ L2 L 3 1 2 3 " # 1