Engenharia

Universidade de Brasília
Faculdade do Gama ______________________________________________________________________________________________ Disciplina: Calculo III Profa. Taís Calliero Tognetti

Lista de Exercício 1
Vetores Funções vetoriais 1) Ache o ângulo entre a e b (a) a = ( 1, -7, 4 ) e b = (5, 0, -1) (b) a = (-2, -3, 0) e b = (-6, 0, 4) (c) a = ( 3, -5, -1) e b = (2, 1, -3) 2) Se l tem equações paramétricas x = 5 - 3t, y = -2 + t, z = 1 + 9t, ache equações paramétricas da reta por P(-6,4,-3) paralela a l. 3) Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas.
(a) Por P(-11,4,-2) e com vetor normal a = 6i- 5j- k (b) Por P(2,5,-6) e paralelo ao plano 3x – y + 2z = 10 (c) Pela origem e pelos pontos P(0,2,5) e Q(1,4,0)

4) Utilizando o produto vetorial, encontre a distancia do ponto P á reta definida pelos pontos Q e R. (a) P = (3,1,-2), Q = (2,5,1) e R = (-1,4,2) (b) P = (-2,5,1), Q = 93,-1,4) R = (1,6,-3) 5) Ache a equação paramétrica da reta que passa por (2,4,5) e é perpendicular ao plano 3x + 7y - 5z = 21. 6) Encontre a equação do plano que passa por P = (1,-2,1) e é perpendicular ao vetor da origem até P. 7) Encontre a distância do ponto S= (0,0,12) até a reta: x = 4t, y = -2t, z = 2t. 8) Encontre a distância do ponto P= (1,1,3) ao plano 9) Desenhe:

d) x² + y² = z²
10) Encontre o vetor tangente, curvatura, vetor normal unitário e o vetor binormal de: r(t) = cos(t) i + sen(t) j + 2k

11) Dado o vetor posição r(t), encontre os instantes de tempo no intervalo dado, em que a.v = 0: ) ( ), r(t) = ( 12) Encontre o vetor o vetor tangente unitário da curva e o comprimento da parte da curva indicado: r(t) = ( ) ( ) ( ) , 13) Considere a curva: r(t) = ( ) ( )

a) Determine os vetores T, N e B. b) Calcule a curvatura e a torção de r. 14) Seja R(t) uma função vetorial que representa o movimento de um objeto ao longo do tempo t. O vetor aceleração pode ser escrito como:

a(t) =

( )

onde é a curvatura de R(t). Em conjunto com a Lei de