Engenharia Mecânica

Universidade Nove de Julho – Uninove
Curso: Engenharia - Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Profº Edson A. Cardoso
Derivadas Parciais

- Dados o parabolóide e o plano , a curva C resultante da intersecção destas superfícies é dada por: . Dado um ponto P dessa curva, vamos calcular a inclinação da reta tangente à curva C e P.

Para que possamos efetuar este cálculo usaremos Derivadas Parciais, onde, sejam: e uma função de duas variáveis e . Fixado y = yo, podemos considerar considerar a função g (x) = f (x , y0). A derivada de g no ponto x = x0, denominada derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0 , y0 ), denotada por , é definida por: ou , se o limite existir.
Analogamente, definimos derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0 , y0) por:
, se o limite existir.
Observamos que, fazendo e podemos reescrever as equações:

e

- Considerando o exemplo, temos que, no plano y = 2, a curva C resultante da intersecção entre e é dada pela equação:

Portanto, estamos diante de uma função em x, e a inclinação da reta tangente à curva C no ponto (1 , 2) é dada por g' (1) ou .
Temos: = =

= = inclinação da reta tangente à curva C em P.

Definição:
Sejam: e uma função de duas variáveis e o conjunto formado por todos os pontos (x,y) tais existe. Definimos a função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a x como a função que a cada associa o número dado por: analogamente, definimos função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a y como

Derivadas parciais fx (a,b) e fy (a,b) podem ser interpretadas geometricamente como a inclinação das retas tangentes em P(a,b,c) aos cortes C1 e C2 de S nos planos y = b e x = a.

Exemplos:
1) Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções:
a)

b)

c)

, se
2) Seja 0 , se . Calcular e .

3) Verificar se a função satisfaz a equação