Elipse
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Geometria Analítica IProfa Marcele Câmara
Cônicas
ELIPSE
Definição:
Uma elipse, E, de focos F1 e F2, é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos P cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma constante 2a > 0, maior do que a distância entre os focos 2c ≥ 0. Ou seja:
E = { P|d(P,F1) + d(P,F2) = 2a}
0 ≤ c < a; d(F1,F2) = 2c
Como dito na definição, os pontos F1 e F2 são os focos da elipse.
A reta l que contém os focos é a reta focal.
A intersecção da elipse com a reta focal l consiste de exatamente dois pontos, A1 e
A2, chamados vértices da elipse sobre a reta focal.
O segmento A1A2 é denominado eixo focal da elipse. O seu comprimento é 2a.
O ponto médio C do eixo focal A1A2 é o centro da elipse. Esse ponto é, também, o ponto médio do segmento F1F2, delimitado pelos focos. A reta l’ que passa pelo centro C e é perpendicular à reta focal l é a reta não-focal.
A elipse intersecta a reta não-focal l’ em exatamente dois pontos, B1 e B2, denominados vértices da elipse sobre a reta não-focal.
O segmento B1B2 é denominado eixo nãofocal da elipse e seu comprimento é 2b, onde b2 = a2 - c2.
O número e = c/a é chamado a excentricidade da elipse. Note que 0 ≤ e < 1.
O número a é a distância do centro aos vértices sobre a reta focal, b é a distância do centro aos vértices sobre a reta não-focal e c é a distância do centro aos focos.
Se c = 0, a elipse se reduz ao círculo de centro C e raio a pois, nesse caso, F1 = F2 =
C e, portanto,
E = { P|2d(P,C)= 2a} = {P | d(P,C) = a}
Em particular, a excentricidade e = 0 se, e somente se, a elipse é um círculo.
Elipse com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OX
2
2
x y 2 1
2
a b
Elipse com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OY
2
2
x y 2 1
2
b a
Elipse com centro no ponto O(x0;y0).
Caso I. Reta focal paralela ao eixo OX
( x x0 ) ( y y0 )
1
2
2 a b
2
2
Caso II. Reta focal paralela ao