Eletromagnetismo

Coordenadas cartesianas
Deslocamento infinitesimal

ˆ dr = dx ˆ + dy  + dz k ı ˆ

Volume infinitesimal

dV = dx dy dz

Gradiente

∇Φ =

Divergˆncia e ∇. A =

Rotacional

∇∧A=

Laplaciano

∇2 Φ =

∂Φ
∂Φ
∂Φ ˆ
ˆ+
ı
+
ˆ k ∂x
∂y
∂z
∂Ax
∂Ay
∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
∂ Az
∂Ay
−
∂y
∂z

ˆ+ ı ∂ Ax
∂Az
−
∂z
∂x

+
ˆ

∂ Ay
∂Ax
−
∂x
∂y

ˆ k ∂ 2Φ ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2

Coordenadas cil´ ındricas Deslocamento infinitesimal

ˆ
ˆ
ˆ dr = dr er + r dφ eφ + dz ez

Volume infinitesimal

dV = r dr dφ dz

Gradiente

∇Φ =

Divergˆncia e ∇. A =

Rotacional

∇∧A=

Laplaciano

∇2 Φ =

1 ∂Φ
∂Φ
∂Φ
ˆ
ˆ
ˆ
er + eφ + ez ∂r r ∂φ
∂z
1∂
1 ∂Aφ
∂Az
(rAr ) +
+
r ∂r r ∂φ
∂z
1 ∂Az
∂Aφ
∂ Ar
∂Az
1∂
∂Ar
ˆ
ˆ
ˆ
−
er +
−
eφ +
(rAφ ) − ez r ∂φ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂φ

∂Φ
1∂
r r ∂r
∂r

+

1 ∂2Φ ∂2Φ
+
r2 ∂φ2
∂z 2

Coordenadas esf´ricas e Deslocamento infinitesimal

ˆ
ˆ
ˆ dr = dr er + r dθ eθ + r sin θ dφ eφ

Volume infinitesimal

dV = r2 sin θ dr dθ dφ

Gradiente

∇Φ =

Divergˆncia e ∇. A =

Rotacional

∇∧A=

∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
ˆ
ˆ
ˆ
er + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ
1∂
1 ∂Aφ
1∂ 2
(r Ar ) +
(sin θAθ ) + r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
1
∂
∂Aθ
1 1 ∂Ar
∂
ˆ
ˆ
(sin θAφ ) − er +
−
(rAφ ) eθ + r sin θ ∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
∂r
+

Laplaciano

∇2 Φ =

1∂
∂Ar
ˆ
(rAθ ) − eφ r ∂r
∂θ

1∂
∂Φ
r2 r2 ∂r
∂r

+

r2

1
∂
∂Φ sin θ sin θ ∂θ
∂θ

+

1
∂2Φ
2 ∂φ2 r2 sin θ

Coordenadas cil´ ındricas z y e^

z r z

e^

e^ r e^
B

y y B

y

ˆ
ˆ
ˆ eφ ∧ ez = er

ˆ
ˆ
ˆ ez ∧ er = eφ

x

x

ˆ
ˆ
ˆ er ∧ eφ = ez

x2 + y 2

x = r cos φ

r=

y = r sin φ

φ = arctan

y x z=z

ˆ er = cos φ ˆ + sin φ  ı ˆ

ˆ= ı ˆ eφ = − sin φ ˆ + cos φ  ı ˆ

=
ˆ

x x2 + y y2

x2 + y 2

ˆ er −
ˆ
er +

ˆ
∂ er
ˆ
= eφ
∂φ
ˆ
∂ eφ
ˆ
=