Elementos finitos

1) (a) Escrever o funcional geral para problemas de elasticidade, descrevendo todos os termos e parâmetros.

Dados , e determinar tal que:
Equação de Equilíbrio:
Relação constitutiva:
Deformações:
Condições de Contorno Naturais:
Condições de Contorno Essenciais:
Onde:
: Tensor de Tensões
: Tensor de Tensões (Notação de Voigth)
: Forças de Volume
: Campo de deslocamentos
: Forças distribuídas no contorno
: Deslocamentos prescritos no contorno
: Normal externa ao contorno
: Matriz constitutiva do material
: Tensor de Deformações

(EPT) (EPD)

Formulação Variacional:

Por partes:

Substituindo em

Escrevendo em forma matricial:

Introduzindo as condições de contorno:

Substituindo as tensões pelas relações constitutivas:

(b) Idem para problemas de transferência de Calor.

: função temperatura
: coeficiente de condutividade térmica na direção y
: coeficiente de condutividade térmica na direção z : fluxo de calor por unidade de área
Condições de contorno: em em

2) Particularizar o funcional do item (a) da questão 1 para o problema de viga biapoiada com uma carga uniforme distribuída q e uma carga concentrada P aplicada no centro do vão.
Resolução:

3) Para uma viga biapoiada com carga uniforme, pode-se determinar a primeira variação do funcional, encontrar a equação de Euler-Lagrange e as condições de contorno naturais (não-essenciais) e definir as condições de contorno geométricas (essenciais) a serem impostas para a solução do problema.
Resolução:

Funcional

Equação de Euler-Lagrange

Primeira Variação do Funcional

Integrando:

Condições de Contorno naturais: (Força Cortante) (Momento Fletor)
Condição de estacionariedade:

Equação de Equilíbrio

Condições de Contorno Essenciais

4) Uma barra de seção transversal constante engastada em uma extremidade e livre na outra, solicitada por uma carga q constante distribuída ao longo de seu comprimento L, sofreu um