El juego de nim

EL NIM (Un juego de estrategia binaria).
Hay un juego, el Nim, que basa su estrategia ganadora en el código binario. Los jugadores son dos y las reglas son las siguientes: se colocan en una mesa algunos montoncitos de fósforos de los que, por turno, cada jugador puede quitar todos los fósforos que quiera retirando fósforos de un solo montón, inclusive, el montón entero; el que consiga llevarse el último fósforo es el ganador. Si intentamos jugar una partida juntos, nos daremos cuenta que no es un juego sencillo, sobre todo en sus primeros movimientos, porque no resulta fácil saber cuántos fósforos conviene retirar en cada jugada para lograr quedarse con la última y ganar así la partida.
Supongamos que tenemos cuatro montoncitos de uno, tres, cinco y siete fósforos respectivamente.
Dejamos por cortesía, que sea el lector que haga el primer movimiento…

…y éste empieza por quitar dos fósforos del montón que tiene cinco:

Nos toca a nosotros y quitamos seis del montoncito que tiene siete, que, de esta forma, se queda con un solo fósforo.

1

Después de la primera jugada, la situación de los montones es 1, 3, 3 y 1:

Le toca al lector y suponemos que retirará en su totalidad uno de los montoncitos de tres fósforos que han quedado. Entonces, nosotros quitamos el segundo montoncito que también es de tres fósforos. La situación es la que nos describe la siguiente figura:

¿Qué hace nuestro lector? ¿Se da por vencido?
En el juego del Nim subyace una estrategia binaria, que podemos dominar desde la primera jugada. No en vano, o por cortesía, le hemos dejado al lector que jugara primero: si lo hubiésemos hecho nosotros, difícilmente habríamos retirado el último fósforo. ¿Cuál es la estrategia oculta? Vamos a transcribir los números de fósforos de los cuatro montoncitos, es decir 1, 3, 5 y 7, en código binario:
1(10)
1(2)
3(10)
11(2)
5(10)
101(2)
7(10)
111(2)
Observando los números en binario se tiene que en la primera columna, de