EDUCAÇÃO

Retas e Planos
Equa¸c˜
oes de Retas
Equa¸
c˜ ao Param´ etrica da Reta no Espa¸co
Considere o espa¸co ambiente como o espa¸co tridimensional. Um vetor v = (a, b, c) determina uma dire¸c˜ao no espa¸co. Dado um ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ), existe uma u
´nica reta r paralela ao vetor v passando pelo ponto
P0 .

P

P0

r

v

Gostar´ıamos de encontrar a equa¸c˜ao desta reta. Um ponto P = (x, y, z) pertence a esta reta se e somente
−−→
−−→ se o vetor P0 P ´e paralelo a v, ou seja, se e somente se P0 P ´e m´ ultiplo escalar de v, isto ´e,
−−→
P0 P = tv
−−→
para algum escalar t ∈ R. As coordenadas do vetor P0 P s˜ao dadas por
−−→ −−→ −−→
P0 P = OP − OP0 = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ).
Portanto, P pertence a esta reta se e somente se
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = (ta, tb, tc), ou seja, se e somente se


 x = y =

z =

x0 + ta y0 + tb z0 + tc
1

−−→
Assim, qualquer ponto P de coordenadas (x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) = OP0 + tv pertence `a reta dada. Esta equa¸c˜ao ´e chamada uma equa¸ c˜ ao param´ etrica da reta r e v ´e chamado um vetor dire¸ c˜ ao da reta.
Observa¸
c˜ ao: O parˆametro t pode ser imaginado como representando o tempo; neste caso o vetor dire¸c˜ao representa a velocidade com que um ponto percorre esta reta.
Exemplo 1. A reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −2) e ´e paralela ao vetor v = (−5, 8, 3) tem equa¸c˜ao param´etrica 
 x = 1 − 5t y = 8t

z = −2 + 3t
Sabemos que dois pontos determinam uma reta. Uma equa¸c˜ao param´etrica para esta reta pode ser encontrada uma vez que as coordenadas destes pontos sejam conhecidas:
Exemplo 2. Encontre uma equa¸c˜ao param´etrica para a reta que passa pelos pontos P1 = (1, 3, −2) e
P2 = (4, −5, −2).
−−−→
Resposta: Como o segmento orientado P1 P2 = (1, 3, −2) − (4, −5, −2) = (−3, 6, 0) pertence a esta reta, ele representa um vetor dire¸c˜ao para ela. Qualquer um dos pontos P1 ou P2 pode ser escolhido para construir uma equa¸c˜ao param´etrica para a