Edp membrana retangular

Métodos de Física Teórica II
Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aula 5
Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9.1

• Vibrações de uma membrana
Como mencionado na aula passada, pode-se deduzir a equação diferencial que descreve os movimentos transversais de uma membrana, em analogia à equação da corda (v. sec. 8.8 do
Butkov). A equação é

que é a equação da onda em duas dimensões.

Vamos analisar, agora, como obter a solução para essa equação, usando certas condições de contorno. • Vamos considerar o movimento de uma membrana retangular, com bordas fixas:

e dimensões a e b. As condições de contorno para os desloca-mentos transversais

u  u( x, y; t ) são

(bordas fixas)

Usando o método de separação de variáveis, escrevemos, • Substituindo esta expressão na equação de vibração da membrana,

e dividindo esta equação poru  u( x, y; t )

vemos que as seguintes equações diferenciais ordinárias devem ser satisfeitas:

desde que
, de modo análogo, ao caso da corda vibrante.

As soluções para X(x) e Y(y) são idênticas à de
X(x) para a corda, isto é, são senos e cossenos, porém, como os extremos são fixos, restam apenas os senos, logo

onde identificamos

• com m = 1, 2, 3, ... e n = 1, 2, 3, ... , em analogia com a corda vibrante.

A solução da parte temporal será também uma soma de senos e cossenos

onde com m, n = 1, 2, 3, ... , já que

Note que são as frequências de vibração da membrana para cada modo (m,n).

Então, a solução completa do problema, usando o princípio da superposição, é

 onde e são coeficientes a ser determinados. De fato a expressão acima corresponde a uma série dupla de Fourier.

Para determinar obtendo vamos fazer t = 0 ,

que ainda é uma série dupla de Fourier de senos. Vamos multiplicar os dois lados dessa equação por

e integrar sobre x entre 0 e a, e sobre y entre
0 e b.

Lembrando da ortogonalidade das funções senos, vemos que