econofisica

Distribuições que não obedecem ao Teorema Central do Limite.
Começamos essa seção com a pergunta: será que existem distribuições que não obedecem ao Teorema Central do Limite e jamais convergem para a distribuição normal?
Vamos começar analisando um caso simples, a distribuição de Cauchy dada por:
.
Note que e que para ser um fdp é preciso que . Fazendo a mudança de variável , temos que e . Os limites são dados por e a integral se transforma em . Logo, trata-se de uma distribuição de probabilidades legítima. Note que a esperança de é nula por paridade, pois pois é uma função ímpar e é par. Nesse caso a variância é o próprio momento de ordem 2 dada por: . Mas essa integral não converge, pois e a variância será infinita. Trata-se, portanto, de uma distribuição com momento de ordem 2 infinito e o teorema central do limite fica sob suspeita, uma vez que foi demonstrado com a suposição de que a variância era finita. Para examinar esse aspecto precisamos da função característica dessa distribuição.
O cálculo de pode ser feito por resíduos, com cuidados para fechar o circuito por cima e por baixo nos casos em que e , que gera o módulo de . Embora a operação direta seja complexa, envolvendo cálculo de resíduos, a volta é muito mais simples. Vamos analisar o problema inverso, que fdp corresponde à função característica .
Aplicando a transformada de Fourier inversa temos que:

As exponenciais se anulam em e ficamos com . Então mostramos que é a função característica da distribuição de Cauchy, . Não podemos extrair os momentos dessa função característica porque não podemos expandi-la em série de Taylor, uma vez que a função não é diferenciável em . Logo não há contradição com o fato de que a variância é infinita e a função característica existe. Agora suponha o caso de variáveis i.i.d. que seguem a distribuição de Cauchy. A soma dessas v.a.s terá a função característica , que continua sendo a função característica de uma distribuição de Cauchy com o