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Integrais de Funções Racionais Definições: 1) Uma função polinomial é uma função da forma f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 tal que an, an-1, ... a1, a0 Î R. Se an ¹ 0, seu grau é igual a n. 2) Uma função racional é uma função da forma f(x) = p(x)/q(x) com p(x) e q(x) funções polinomiais e q(x) ¹ 0 (isto é, não é a função identicamente nula)

Funções racionais Exemplo 1:

É racional própria, porque o grau do numerador é menor do que o grau do denominador.

É racional imprópria, porque o grau do numerador é igual ao grau do denominador.

É racional imprópria, porque o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Definição 3: Uma função racional f(x) = p(x)/q(x) é, 3.1) Própria grau [p(x) ] < grau[q(x)] 3.2) Imprópria se grau[p(x) ] ³ grau[q(x)] ou p(x) é a função identicamente nula. Exemplo 2: Toda função polinomial é uma função racional imprópria.

Integrais de funções impróprias No cálculo da integral de uma função racional imprópria (dividindo-se o numerador pelo denominador) escreve - se a função como soma de uma função polinomial e uma função racional própria. Exemplo 3:

Exemplo 4:

Continue! Exemplo 5:

Usando integração por partes u = arctg(x) Þ du = dx/(1 + x2) dv = x Ü v = x2/2

Continue! (A última integral é imprópria) Integrais de frações parciais São frações parciais funções da forma:

1.

2. ax2 + bx + c não possui raízes reais) Exemplo 6:

Exemplo 7:

t = x + 5 Þ dt = dx

t = x + 5 Þ dt = dx Exemplo 8:

Usando integração por partes para calcular I1 ...

u = x Þ du = dx

Portanto I

t = x2 – x + 1 Þ dt =(2x – 1)dx

Calculando I1 ...

z = x – 1/2 Þ dz = dx

Aplicando o mesmo método do exemplo 8.2) para a =

..

Portanto,

Integrais de funções racionais próprias Método da decomposição em frações parciais

Esse método consiste em escrever uma função racional própria como soma de frações parciais que dependem, principalmente, da fatoração do denominador da função racional em R .

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