Doc Calculo 1156244867

Ensino Superior

Cálculo 2
1.1 Integral Indefinida
Método da Substituição
Amintas Paiva Afonso

Integral Indefinida
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

f(x) dx F(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE
IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

Integral Indefinida

Integral Indefinida

Integral Indefinida
EXEMPLO 01
Calcular

(x

2

 1)50 2x dx

Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + 1

du
2x
dx

Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
50
(u)
 du

u 51
(x 2  1)51
(u) du  51  C  51  C
50

Integral Indefinida
EXEMPLO 02
Calcular

sen(x  9) dx

Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x + 9

du
1
dx

Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:

sen(u) du
sen(u) du  cos(u)  C  cos(x  9)  C

Integral Indefinida
EXEMPLO 03
Calcular

2 sen  (x) cos(x) dx

Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = sen(x)

du
cos(x)
dx

Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
2
u
 du

u3 sen 3 (x)
u du  3  C  3  C
2

Integral Indefinida
EXEMPLO 04
Calcular

e



x

x

dx

Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO x Seja u =

1
1
du d  2  1  2 1 1
1
 x  x 



Então dx dx   2
2 1 2 x x2 Logo:

1
2 x

dx = du

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.

Integral Indefinida x e



x

e

dx 

x

2

1 2 x

dx 2e

1

x

2 x

dx

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

2e

1

x

2 x

outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):
1
1 dx du  dx 2du
2 x x dx 2e u du

u u u
2e
du

2 e du

2 e  C 2e



Ou seja:

e



x

x

dx 2e

x

C

x

C

Integral Indefinida