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Função Modular
Módulo de um Número Real
Dado um número real x, o módulo de x é definido por:
x, se x ≥ 0 x =
`
− x, se x < 0
Observação: O módulo de um número real nunca é negativo.
Exemplo 1: 3 = 3
Exemplo 2: −10 = − ( −10 ) = 10
Exemplo 3: 0 = 0
Geometricamente, o módulo de x é igual à distância do ponto que representa na reta real à origem independentemente de suas posições relativas. Por isso temos, por exemplo, que 4 = −4 = 4 que é a distância da cada número até a origem. Veja o gráfico abaixo:
4
4
0
−4
4
Pensando ainda na interpretação geométrica do módulo, podemos verificar como são resolvidas as inequações modulares, pois se o módulo de um número real x é menor do que uma constante a temos que sua distância até a origem é menor do que a. Ou seja, qualquer número entre −a e a serve como solução. Assim: x < a ⇔ −a < x < a
Represntando graficamente: a a x a
0
De modo análogo podemos definir quando o módulo é maior do um valor positivo a: x > a ⇔ x < a ou x > a

−a

Representando graficamente:

a

a

−a

0

a

x

Equações Modulares
É toda equação que contiver a incógnita em módulo.
Exemplo 1: x = 4

Exemplo 2: x + 8 = 1
Exemplo 3: x + x − 1 = 5
Solução
Vamos mostrar com exemplos práticos como resolvemos uma equação deste tipo.
Função Modular
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Exemplo 1: Resolver a equação modular 3x − 4 = 2 .
Solução: Temos duas possibilidades:
(1) 3x − 4 = 2 ou (2) 3x − 4 = −2
Vamos a cada solução:
De (1):
3x = 6
6
x=
3
x=2
De (2):
3x = 2
2
x=
3
Repare que substituindo estes valores na equação modular obtemos o valor correto:
2
3 ⋅ 2 − 4 = 3 ⋅ − 4 ⇒ 6 − 4 = 2 − 4 ⇒ 2 = −2 = 2
3
Exemplo 2: Encontre os valores de x que satisfazem a equação modular x − 7 = −1 .
Solução: Não há valores para x que satisfazem esta equação, pois o múdulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O conjunto-solução é, portanto,