Diversos

Se a fun¸˜o derivada f (x) ´ deriv´vel podemos definir uma nova fun¸˜o f (x) tal que ca e a ca

f (x) = (f (x)) =

d2 f
(x).
dx2

De maneira an´loga e com as hip´teses convenientes, podemos sucessivamente definir as fun¸˜es derivada a o co terceira, quarta, ..., de ordem n.

Exemplo 1 f (x) = x5 − 3x4

f (x) = 60x2 − 72x

f (4) (x) = 120x − 72

f (x) = 5x4 − 12x3

f (5) (x) = 120

f (x) = 20x3 − 36x2

f (n) (x) = 0 (n ≥ 6)

OBS: Se s (t) ´ a equa¸˜o de um movimento, ent˜o v (t) = s (t) ´ a equa¸˜o da velocidade e a (t) = s (t) ´ e ca a e ca e equa¸˜o da acelera¸˜o. ca ca

Exemplo 2 De um bal˜o a 150m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistˆncia a e do ar, a distˆncia s(t) do solo ao saco de areia em queda, ap´s t segundos ´ dada por: s (t) = −4, 9t2 + 150. a o e Determinar a velocidade e a acelera¸˜o do saco de areia no instante em que ele toca o solo. ca 
2
 s (t) = −4, 9t + 150 m



v (t) = −9, 8t m/s



 a (t) = −9.8 m/s2

No ch˜o, s(t) = 0: a s (t) = −4, 9t2 + 150 = 0 ⇒ t2 = 150/4, 9 = 30, 61 ⇒ t =

v (5, 53) = −9, 8 × 5, 53 = −54, 19 m/s

a (5, 53) = −9, 8 m/s2

√

30, 61 = 5, 53s

Interpreta¸˜o geom´trica das derivadas primeira e segunda ca e

Exemplo 3 f (x) = (x − 2) (x + 1)2 = x3 − 3x − 2


 f (−2) = 9 > 0 (crescente)



2−3⇒ f (0) = −3 < 0 (decrescente) f (x) = 3x



 f (1) = 0 (m´ ınimo local)


 f (−2) = −12 < 0 (concavidade para baixo ou convexo)



f (0) = 0 (ponto de inflex˜o) a f (x) = 6x ⇒



 f (1) = 6 > 0 (concavidade para cima ou cˆncavo)