Distribuicao binmomiaç

Problema 1
Ache a mediana das densidades Qui-quadrado com 1 e 2 graus de liberdade.
Solução
A densidade Qui-quadrado com n graus de liberdade é dada por:
( ) 2
1
2
/ 2
.
2
2
1 n x n x e n f x
−
−






Γ
=
Onde n é um inteiro maior ou igual a 1.
Em particular, a densidade Qui-quadrado com 1 grau de liberdade é:
( ) 2 / 2
1
2
1
.
2
1
. .
2
1
2.
1 x x e x f x x e
−
− −
=






Γ
=
π pois  = π





Γ
2
1 e a densidade Qui-quadrado com 2 graus de liberdade é:
( )
2 / 2
1
2
2
.
2
1
. .
2. 1
1
( ) x x f x x e e
−
− −
=
Γ
=
ou seja, coincide com a densidade Exponencial com média 2.
Em ambos os casos, a mediana é o ponto m tal que Pr(X < m) = Pr(X > m) = 50% e assim precisamos resolver (numérica ou analiticamente) as integrais:
a) Para a densidade Qui-quadrado com 1 grau de liberdade
0.5
2
1
0
/ 2
=
∫
−
m x e dx πx A solução numérica desta equação nos dá: m = 0.4549
b) Para a densidade Qui-quadrado com 2 graus de liberdade
( ) Pr( ) ( ) 0.3 1 0.3 38.21%
10
88 85
10
85
Pr 88 Pr  = > = − Φ =




 −
>
−
> = Z
X
X log( ) 0.5 0.6932 1.3863
2
= = − ⇒ =
−
m m Problema 2
A renda doméstica mensal num certo bairro do Rio de Janeiro é uma variável aleatória com distribuição Gama com média
R$ 2000 e desvio padrão R$ 400.
a) Ache os parâmetros α e β desta densidade.
b) Calcule a probabilidade da renda média mensal de um domicílio exceder R$2500.
c) Qual a mediana desta distribuição Gama? Probabilidade: um curso introdutório - Mônica Barros - Capítulo 7 - Soluções
2
Solução
a) Se X tem distribuição Gama com parâmetros α e β então a média de X é α.β e sua variância é α.β
2
. Logo, neste caso:
α.β = 2000 e . 400
2
α β = ⇒ β α
2000
= ⇒ 2000 400 2000 160000
2000
2
= β = ⇒ β = β β e 25
8
200
80
2000
80
2000
160000
β = = ⇒α = = =
Logo X tem distribuição Gama(25, 80) e sua densidade é:
(