Diferenciais

4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

4.1: Definição e conceitos básicos
Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma equação da forma
⎛ dy dny⎞ ⎜ x, y , , … , n ⎟ = 0 f⎜ dx dx ⎟ ⎝ ⎠

ou

f x, y, y ′,…, y (n ) = 0 , envolvendo uma função incógnita y = y ( x )

(

)

e algumas das suas derivadas em ordem a x.

Exemplos 1.2: 1)

dy + xy = 0 ; 2) y ' ' + y ' = x ; 3) x 2 − y 2 dx − ( x + y ) dy = 0 . dx

(

)

Definição 1.3: Chama-se ordem da equação diferencial à maior

das ordens das derivadas que nela aparecem.

Por exemplo, - a equação diferencial y ' + x = e x é de primeira ordem; - a equação diferencial y (9 ) − xy ' ' = x 2 é de nona ordem; ds d 2s - a equação diferencial 2 − 3 + 2s = t 2 é de segunda ordem. dt dt

"Resolver" a equação diferencial consiste em encontrar funções y = y ( x ) que a satisfaçam.
1

Definição 1.4: Chama-se solução de uma equação diferencial

de ordem n no intervalo I a uma função y = g ( x ) definida nesse intervalo, juntamente com as suas derivadas, até à ordem n, que satisfaz a equação diferencial, ou seja, f x, g ( x ), g ' ( x ),…, g (n ) ( x ) = 0, ∀x ∈ I .

(

)

Exemplo 1.5: Mostre que y = Ce x é uma solução da equação y ' − y = 0.

Resolução: De y = Ce x resulta que y ' = Ce x . Substituindo na equação dada as expressões de y e y ' , obtém-se Ce x − Ce x = 0 , pelo que a função y = Ce x satisfaz a equação diferencial dada, qualquer que seja o valor da constante arbitrária C.

Exemplo 1.6: Mostre que a função y = e − x

2

∫

x t2 e dt 0

+ C1e − x é
2

solução da equação y ' + 2 xy = 1.

Resolução: De y = e − x y ' = −2 xe − x y ' = −2 xe − x
2

2

∫

x t2 e dt 0

+ C1e − x resulta que
2

∫ ∫

x t2 e dt 0

+ e − x e x + C1e − x (− 2 x ) , isto é,
2 2 2

2

x t2 e dt 0

+ 1 − 2 xC1e − x .
2

Substituindo as expressões y e y ' no 1º membro da equação diferencial, obteremos 1.
2

Definição 1.7: Chama-se solução geral ou integral geral de