Diferenciabilidade

Continuidade de uma função
Embora o conceito de continuidade possa ser dado sem o auxílio de limites, aqui neste material de Cálculo, o conceito de limite será usado para definir com mais cuidado o significado da continuidade de uma função.
Ao definir Lim f(x), se xa, analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).
Uma ideia muito simples de função real contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma "descontinuidade". Em contextos avançados, observa-se que este critério é errado, mas para o momento tal análise é suficiente.
Na sequência, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas.

Definição de função contínua
Seja uma função f:|a,b|R e a<c<b. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x) existe, quando xc e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa:
Limxcf(x)=f(c)
onde |a,b| é um intervalo da forma: (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b].
Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando xc, mas Lim f(x) é diferente de f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c.
Propriedades das funções contínuas
Apresentaremos agora algumas propriedades das funções contínuas, que já foram apresentadas na seção das propriedades dos limites de funções.
Sejam f e g definidas no intervalo [a,b]. Se f e g são contínuas em um ponto x em [a,b], então também o são as funções: f+g, f-g, f·g e f÷g, desde que g=g(x) seja não nula.
Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] então, o mesmo ocorrerá com as funções: f+g, f-g, f·g e f÷g, desde que g=g(x) seja não nula em [a,b].
As funções polinomiais, racionais, trigonométricas,