Determinantes

Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.

A = ( 3 ) , logo | A | = 3

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Seja a matriz de 2ª ordem:

A=

a11

a12

a21

a22

O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

a11

a12

a21

a22

- (a12 · a21)

= a11 · a22 – a12 · a21

a11 · a22

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.

Ex: 1)

 7 2
A 

 3 5

7 2
3 5
-

= 7.5 - 2.3 = 29
+

Ex: 2)

2 3
2.10  3.6 20  18 2
6 10

Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado
Regra de Sarrus.
Ex: 1)

2 1 3 2 1
5 2 1 5 2
3 1 4 3 1
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28

Ex: 2)

10 0
6 2
2

1

1 10 0
0 6 2
1 0 1

20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

Casos em que um determinante é igual a ZERO:
1

3

5

0

0

0

1 0

5

Ex: 1) 2  9 8 0

2) 2 0

8 0

5 0 16

• Quando todos os elementos de uma fila são nulos

Casos em que um determinante é igual a ZERO:
1
3)
8
1

3

2 9
1 3
2 9
8 1
9

0
2
0
0
9

L 1 L 3

6

4)  1 0  2 0
4 8 8

2.C1 C 3

• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

Casos em que um determinante é igual a ZERO:
1

6

9

L 1  L 2 L 3

5) 3 5 0 0
4 11 9

1
6) 3
0
7

3 5
1 7
7 7
5 9

0
9
0
8
0

2.C1  C 2 C 3

• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

Outras propriedades:
Ex: 1)

2 3
4 9

2 4

18  12 6

3 9

a b c
2) Se x

y

z 10,

r

s

t

a

18  12 6

x r

então b

y

s 10

c

z

t

• det(A)=det(At)

Outras propriedades:
2 0 0
5 3 0  2.3.7 42
7 9 7

Ex: 1)

2)

2 7 8 0
0 5 8 6
0
0

0 3 5
0 0 2

  2.5.3.2  60

• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal