Determinantes

MATEMÁTICA

DETERMINANTES
1. INTRODUÇÃO

5. REGRA DE SARRUS

Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.

1o ) Repetem-se as duas primeiras colunas à direita do determinante.
2o ) Multiplicam-se: os elementos da diagonal principal e os elementos de cada paralela a essa diagonal, conservando o sinal de cada produto obtido; os elementos da diagonal secundária e os elementos de cada paralela a essa diagonal, invertendo o sinal de cada produto obtido.

Determinante de uma matriz A de ordem 1. det A = |a11| = a11
Determinante de uma matriz A de ordem 2. a11 a12
= a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 a 21 a 22

det A =

2. MENOR
COMPLEMENTAR
DETERMINANTE DA MATRIZ REDUZIDA

Chama-se menor complementar Dij relativo a um elemento aij da matriz A, de ordem n, o determinante da matriz de ordem n − 1 , que se obtém a partir de A, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna de ordem j.
Exemplo:
Sendo

2 − 1 3


A = 0 1 4 ,
 5 − 2 1



a) D11 = 1

4

−2 1

=9

a11

a 21 a 22 a 31 a 32

0 4
5 1

3o) e somam-se os resultados obtidos no 2o. passo, ou seja: det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31a22a13
-a32a23a11 - a33a21a12

= −20

6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Matriz com fila nula: o determinante dessa matriz é nulo.
Matriz triangular: o determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal. Multiplicação de uma fila por um número k real: O determinante da nova matriz é igual ao anterior, multiplicado pelo número k.
Troca de filas paralelas: o determinante da nova matriz é o anterior com sinal trocado.
Filas paralelas iguais: o determinante é nulo.
Filas paralelas proporcionais: o determinante é nulo.
Matriz transposta: o determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta At.
Decomposição de uma fila: se cada elemento de uma das filas de um determinante é uma soma de duas parcelas, então esse determinante é a soma de dois outros determinantes, que se obtêm substituindo essa fila pelas primeiras e pelas