Determinadntes

Matemática - 2008/09 - Determinantes

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Determinantes
Determinantes de ordem 2 e 3.
O determinante de uma matriz quadrada é um número real obtido a partir da soma de determinados produtos de elementos da matriz. Vamos descrever como se calculam determinantes de matrizes de ordem 2 e 3.
Ordem 2:
"
# a11 a12
Se A =
; então o seu determinante é a21 a22

Exemplo: det

"

12
34

#

det A = a11 a22
=1

4

2

3=

a12 a21

2

Ordem 3:
2
3 a11 a12 a13
6
7
Se A = 4 a21 a22 a23 5 ; então o seu determinante é a31 a32 a33 det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

a11 a23 a32

a12 a21 a33

a13 a22 a31 :

Nota: Como se pode observar, o determinante de ordem três é uma soma de seis parcelas, três afectadas do sinal positivo e três do sinal negativo. Cada parcela é o produto de três entradas da matriz, situadas em linhas e colunas diferentes. Para calcular estes produtos e o sinal de que são afectados, costuma utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de
Sarrus1 :
1- Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira:
2
3 a11 a12 a13 a11 a12
6
7
4 a21 a22 a23 5 a21 a22 a31 a32 a33

a31 a32

2 - Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:

a11 a22 a33 ; a12 a23 a31 e a13 a21 a32
1

Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de
Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 1833.

Matemática - 2008/09 - Determinantes
3 - Os produtos afectados com sinal

38 obtêm-se multiplicando os elementos que se situam

ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:

a13 a22 a31 , a11 a23 a32 e a12 a21 a33
2
3
123
6
7
Exemplo: Cálculo do determinante da matriz 4 4 5 6 5
789

Parcelas com sinal + :

1

2

123

3

6
7
det 4 4 5 6 5 = 1
789

9; 2

6

7e3

4

8

3

Parcelas com sinal

5

5