Derivações

Capítulo 1 Funções Deriváveis e Aplicações
Usando o estudo de limites apresentaremos o conceito de derivada de uma função real e estabeleceremos fórmulas e técnicas gerais para usá-las no cálculo de derivadas sem apelar para limites. Isto permite aplicar o conceito de derivada a qualquer quantidade ou grandeza que possa ser representada por uma função. Como grandezas desse tipo ocorrem em quase todos os ramos do conhecimento, aplicações da derivada são abundantes e variadas.

1.1

Motivação

Como motivação vamos apresentar o seguinte problema concreto: Vamos considerar o problema que consiste em traçar a reta tangente T a uma curva C em um ponto qualquer P desta curva segundo Leibniz (matemático alemão Gottfried Leibniz, 1646 - 1716). Na geometria elementar a reta tangente T em um ponto P de um círculo (cônicas) C pode ser interpretado como a reta que toca C nesse ponto ou, equivalentemente, a reta que é perpendicular ao raio de C. Não podemos estender esta interpretação a uma curva C qualquer, pois a reta que toca uma curva C em um só ponto nem sempre é tangente à curva C. Assim, nosso objetivo é definir a inclinação da reta tangente em P , pois conhecendo a inclinação, podemos determinar a equação da reta tangente. Seja C o gráfico de uma função f, isto é,

C = {(x, y) ∈ R × R : y = f (x)}. 1

2

CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DERIVÁVEIS E APLICAÇÕES

Figura 1.1: Reta tangente ao gráfico de C. Seja P = (x0 , y0 ), com y0 = f (x0 ), um ponto de C, onde desejamos traçar a reta tangente à C. Seja Q = (x0 + h, f (x0 + h)), com h = 0, qualquer outro ponto de C. Então, a inclinação da reta secante P Q (confira Figura 1.1), é dada por f (x0 + h) − f (x0 ) . h Note que, quando h se aproxima de 0 temos que tan θ se aproxima de um número m. Neste caso, definimos a reta tangente à curva C, como sendo aquela que passa por P e cuja inclinação é m, isto é, y − y0 = m(x − x0 ), tan θ = f (x0 + h) − f(x0 ) . h Observação 1.1 Se m aproxima-se de +∞ ou −∞ quando h se aproxima de 0