DERIVAÇAO IMPLICITA INVERSA

Instituto Federal de Educa¸˜o, Ciˆncia e Tecnologia ca e
Professora: N´dia Pinheiro N´brega a o
Disciplina: C´lculo Diferencial e Integral I a Campus Cajazeiras
AUTIND - ADS - 2013.2
Aula de Resposi¸˜o - Quinta-Feira (19/12/2013) ca Exerc´ ıcios de Deriva¸˜o Impl´ ca ıcita
Exerc´
ıcios de Derivada da Fun¸˜o Inversa ca (A) Derivada de Fun¸˜es dada Implicitamente co (1a Quest˜o de Impl´ a ıcita) Obtenha a derivada

dy usando deriva¸˜o impl´ ca ıcita para as dx seguintes equa¸˜es. co (a) x2 y + 3xy 3 − x = 3 xy 3
(b)
= 1 + y4
1 + sec y
1
1
(c) √ + √ = 1 x y x+y (d) x2 = x−y (2a Quest˜o de Impl´ a ıcita) Considere as fun¸˜es abaixo: co x + xy − 2x3 = 2
√
y − sen x = 5

(1)
(2)

Para cada uma dessas equa¸˜es, responda os seguintes itens. co dy por meio de deriva¸˜o impl´ ca ıcita. dx (b) Resolva cada uma das equa¸˜es (1) e (2) de modo a “isolar”a vari´vel y e obter co a dy y em fun¸˜o de x e obtenha ca diretamente dessa equa¸˜o obtida nesse mesmo ca dx item. (a) Obtenha

(c) Da derivada obtida no item (a) usando deriva¸˜o impl´ ca ıcita, obtenha o resultado dy final de apenas em fun¸˜o da vari´vel x ca a dx dy
(d) Compare os resultados de obtidas no item (b) e (c) e conclua que esses dx resultados s˜o iguais. a 1

(B) Fun¸˜es Inversas e Derivada de Fun¸˜es Inversas co co
O Objetivo, dada uma fun¸˜o y = f (x), ´ obter a fun¸˜o x = g(y). Em alguns casos ´ ca e ca e f´cil obter a fun¸˜o x = g(y), mas em outros casos, essa n˜o ´ uma tarefa f´cil. a ca a e a Procedimento para obter a fun¸˜o inversa de uma fun¸˜o f ca ca
Passo 1 Escreva a equa¸˜o y = f (x). ca Passo 2 Se poss´ ıvel, resolva a equa¸˜o de modo a obter x em fun¸˜o de y. ca ca
Passo 3 A equa¸˜o resultante ser´ x = f −1 (y), que fornece uma f´rmula para a fun¸˜o ca a o ca inversa f −1 na vari´vel independente y a Passo 4 Caso y seja aceit´vel como vari´vel independente da fun¸˜o Inversa