derivadas

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

4
4.1
4.2
4.3
4.4

MONOTONÍA
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CONCAVIDAD
ELABORACIÓN DE GRÁFICAS

4.5

SOFISTICADAS
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

4.6
4.7
4.8

DERIVADAS
TEOREMA DE
TEOREMA DE
TEOREMA DE

ROLLE
CAUCHY
L´HOPITAL

OBJETIVOS:
•
•
•
•
•
•

Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento
Determinar extremos
Determinar intervalos de Concavidad.
Graficar funciones sofisticadas.
Utilizar el teorema del valor medio para derivadas.
Calcular indeterminaciones empleando derivadas.

109

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

4.1 MONOTONÍA
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función.
4.1.2 Teorema de Monotonía

Sea ƒ una función continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en todo punto interior de [a, b] . Entonces:
1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es creciente en [a, b]
2.Si
f ´(x) < 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es decreciente en [a, b] .
DEMOSTRACIÓN.
Se demostrará el primer inciso del teorema.
Suponga que f ´(x) > 0 entonces lím

x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x0 )
> 0 ; es decir
>0.
x − x0 x − x0

Suponga ahora que x 0 < x , entonces f ( x 0 ) < f ( x) , lo cual indica que f es creciente.
Si x < x0 entonces f ( x) < f ( x0 ) lo cual también indica que f es creciente
Para el caso f ´(x) < 0 , la demostración es análoga.

Ejemplo 1
2
Analice la monotonía de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5

SOLUCIÓN:
De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) = 4 x − 4
El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x ) = 4( x − 1) ; se observa que:

x

x 1

110

f ´(x)
Negativa (-)
Positiva(+)

f