derivadas

DERIVADAS
“O objetivo é um sonho com prazo fixo.”
Leo B. Helzer

Introdução:
No material anterior, vimos como encontrar uma equação para a reta tangente a uma curva, usando intuitivamente a noção de limites. Agora, veremos a definição precisa de reta tangente a uma curva num ponto
Para determinarmos a inclinação da reta que tangencia uma curva em um ponto devemos considerar um ponto na curva que seja distinto de P e calcularmos a inclinação da reta que passa por
P e Q, chamada de reta secante (ver figura 1).
A inclinação da reta coincide com a tangente do ângulo  que possui vértice em P, na figura. Então,
Se fizermos Q ficar mais e mais próximo de P, isto é, se a reta secante por P e Q atingir alguma posição limite quando consideraremos esse limite como a inclinação da reta tangente em P (ver figura 2).

1

Assim, temos a seguinte definição.

Definição:
Suponhamos que a pertença ao domínio da função f. A reta tangente à curva ponto é a reta de equação
, onde

no

Sempre que existir o limite.
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, muito utilizada. Essa expressão é obtida quando consideramos x  a  h . Daí, temos que

INTERPRETAÇÃO DE DERIVADA:
A derivada de uma função em um número a é a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto (a, f (a)), ou seja, a derivada de uma função f (x) em um número a é dada por: f (a  h)  f (a)
.
h h0 f ' (a)  lim

2

Portanto, reescrevendo a equação da reta tangente, num ponto teremos: desta reta,

Exemplo:
Seja a parábola
, encontre:
a) A inclinação da reta tangente a curva, no ponto P(1,1);
b) A equação da reta tangente a curva, no ponto P(1,1).

Velocidades
Estudamos anteriormente, o movimento de uma bola deixada cair de cima de uma torre, e sua velocidade foi definida como sendo o valor limite das velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores.
Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação s  f (t )