Derivadas

Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática

Derivadas

variável em relação a outra. Também veremos o conceito formal de derivadas, as regras de derivação, além das derivadas das funções mais usuais. Veremos como calcular a derivada de funções compostas e funções inversas. Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de: • • • • • Entender o que é a derivada de uma função; Saber calcular a derivada de uma função através das regras de derivação; Compreender a derivada de uma função graficamente. Derivar funções compostas; Derivar funções inversas;

O

principal objetivo dessa aula é apresentar o conceito de derivadas. Vamos começar apresentando a derivada como o coeficiente angular da reta tangente em um ponto e como a taxa de variação de uma

m a o V

s

o e Cmç r a

Seja y = f ( x ) uma curva definida no intervalo (a, b ) , conforme ilustrado abaixo:

y

f ( x2 ) f ( x1 )

Q

s

P

a x1

x2

b

x

Notas de Aula - Calculo I - Derivadas

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Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Sejam P( x1 , f ( x1 )) e Q( x 2 , f ( x2 )) dois pontos distintos da curva y = f ( x ) e s, a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Vamos denotar a diferença entre as abscissas de Q e de P por Δx , assim:

Δx = x2 − x1
A inclinação da reta secante s é dada por:

ms =

f ( x 2 ) − f ( x1 ) Δx

desde que a reta s não seja vertical. Como x2 = x1 + Δx , a inclinação da reta s pode ser escrita como:

ms =

f ( x1 + Δx ) − f ( x1 ) Δx

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Isto equivale a dizer que Δx tende a zero. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da reta secante varia cada vez menos, tendendo pra um valor limite constante.

y

Q

P

x

Notas de Aula - Calculo I - Derivadas

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Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto