Derivadas

Derivadas Derivada no ponto x0 Definição Seja uma função definida em um intervalo aberto I e x0 um elemento de I. Chama-se derivada de f no ponto x0 o limite. f ( x) − f ( x0 ) lim x → x0 x − x0 Se este existir e for finito. A derivada de f no ponto x0 é habitualmente indicada com uma das seguintes notações:  df  f ' ( x0 )   ou Df ( x0 )  dx  x = x0 A diferença ∆x = x − x0 é chamada acréscimo ou incremento da variável x relativamente ao ponto x0 . A diferença ∆y = f ( x) − f ( x0 ) é chamada acréscimo ou incremento da função f relativamente ao ponto x0 . ∆y f ( x) − f ( x0 ) O quociente = recebe o nome de razão incremental de f relativamente x − x0 ∆x ao ponto x0 . A derivada de f no ponto x0 pode ser indicada da seguinte forma: f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ' ( x) = lim x →0 ∆x Vamos resolver no quadro:
Exemplos: Calcule a derivada de f ( x) no ponto dado: a ) f ( x) = 3 x 2 − 1 f ' (2) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ' ( x) = lim x →0 ∆x 2 3(2 + ∆x) − 1 − [3(2) 2 − 1] lim x →0 ∆x 3(4 + 4∆x + ∆x 2 ) − [3.4 − 1] lim x→0 ∆x 12 + 12∆x + 3∆x 2 − 1 − [12 − 1] lim x →0 ∆x 11 + 12∆x + 3∆x 2 − 11 lim x→0 ∆x 12∆x + 3∆x 2 lim x →0 ∆x lim12 + 3∆x = 12 x →0

b) f ( x ) = 2 x f ' ( x) = lim x →0

f ' (3)

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x 2(3 + ∆x) − [2(3)] lim x →0 ∆x 6 + 2∆x − 6 lim x →0 ∆x 2∆x lim =2 x → 0 ∆x c) f ( x ) = 3 x + 1 f ' ( x) = lim f ' ( 2)

3(2 + ∆x) + 1 − [3(2) + 1] x→0 ∆x 3(2 + ∆x) + 1 − [3(2) + 1] lim x →0 ∆x 6 + 3∆x + 1 − [6 + 1] lim x →0 ∆x 7 + 3∆x − 7 lim x →0 ∆x 3∆x lim =3 x → 0 ∆x Atividade 1)Calcule a derivada de f (x) no ponto dado: a) f ( x) = 3x 2 + 4 b) f ( x) = 6 x − 1 c) f ( x ) = 3 x − 4 d ) f ( x) = 4 x e) f ( x ) = 3 x f ' ( 2) f ' (3) f ' (1) f ' (2) f ' (5)