Derivadas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática

Matemática para Químicos II

DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
A Físico-Química se interessa bastante com o efeito na mudança de uma variável de um sistema, que apresenta outras variáveis. Cada variação de uma variável, para maior ou para menor, pode se considerar um incremento à referida grandeza. O Cálculo Diferencial é a “matemática das variações incrementais”. Ele é baseado fundamentalmente no conceito matemático conhecido como derivada. 1. PROBLEMA DA RETA TANGENTE No gráfico da função f abaixo, como se pode definir a reta tangente no ponto P(x1, f(x1))? Atribuindo-se um acréscimo ∆x para x1, obtém-se a y f (x 1 + ∆x )
∆y

f Q P x1 s

abscissa de

um novo

ponto Q da curva , cujas

coordenadas são (x1+ ∆x , f(x1+ ∆x )). A reta secante s que passa pelos pontos P e Q, tem declividade t

f (x 1 )

∆x

0

x 1 + ∆x x

ms =

∆y ∆x

. Considerando-se o acréscimo ∆x cada vez

menor ( tendendo a zero ), o ponto Q se desloca sobre a curva aproximando-se de P, e a reta secante s gira sobre o ponto fixo P,

tendendo a posição limite da reta t. Esta reta t é a tangente ao gráfico no ponto P. Portanto, podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto P(x1, f(x1)) como sendo a reta, se existir, que passa por P e cuja declividade é

m t = lim

∆y ∆x

∆x →0

ou lim

f(x + ∆x) − f(x ) 1 1 ∆x →0 ∆x

Da Geometria Analítica, a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto P(x1,y1) e tem declividade m é y – y1 = m(x – x1 )

1

2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

A derivada da função f em relação a x no ponto x = x1 é o número notado por f ’(x1) e definido por:

f ′( x1 ) = lim se esse limite existir.

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x

Significado Geométrico: f ′( x1 ) representa a declividade da reta tangente a curva,

gráfico de f , no ponto P( x1 , f (