Derivadas e integrais

TABELA: Derivadas, Integrais e Identidades Trigonom´tricas e •

Derivadas

Sejam u e v fun¸˜es deriv´veis de x e n conco a stante.
1. y = un ⇒ y = n un−1 u .
2. y = uv ⇒ y = u v + v u.
−
3. y = u ⇒ y = u vv2v u . v 4. y = au ⇒ y = au (ln a) u , (a > 0, a = 1).
5. y = eu ⇒ y = eu u .
6. y = loga u ⇒ y = u loga e. u 1
7. y = ln u ⇒ y = u u .
8. y = uv ⇒ y = v uv−1 u + uv (ln u) v .
9. y = sen u ⇒ y = u cos u.
10. y = cos u ⇒ y = −u sen u.
11. y = tg u ⇒ y = u sec2 u.
12. y = cotg u ⇒ y = −u cosec2 u.
13. y = sec u ⇒ y = u sec u tg u.
14. y = cosec u ⇒ y = −u cosec u cotg u.
15. y = arc sen u ⇒ y = √1u u2 .
−
16. y = arc

u cos u ⇒ y = √−−u2 .
1
u tg u ⇒ y = 1+u2 . cot g u ⇒ 1−u 2 .
+u

17. y = arc
18. y = arc
19. y = arc sec u, |u| 1 u ⇒ y = |u|√u2 −1 , |u| > 1.

20. y = arc cosec u, |u| 1
−u
⇒ y = |u|√u2 −1 , |u| > 1.

•

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.

Identidades Trigonom´tricas e 1. sen2 x + cos2 x = 1.
2. 1 + tg2 x = sec2 x.
3. 1 + cotg2 x = cosec2 x.
4. sen2 x = 1−cos 2x .
2
5. cos2 x = 1+cos 2x .
2
6. sen 2x = 2 sen x cos x.
7. 2 sen x cos y = sen (x − y ) + sen (x + y ).
8. 2 sen x sen y = cos (x − y ) − cos (x + y ).
9. 2 cos x cos y = cos (x − y ) + cos (x + y ).
10. 1 ± sen x = 1 ± cos π − x .
2

du = u + c. n+1 un du = u +1 + c, n = −1. n du
|
u = ln |uu + c. a au du = ln a + c, a > 0, a = 1. eu du = eu + c. sen u du = − cos u + c. cos u du = sen u + c. tg u du = ln |sec u| + c. cotg u du = ln |sen u| + c. sec u du = ln |sec u + tg u| + c. cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c. sec u tg u du = sec u + c. cosec u cotg u du = −cosec u + c. sec2 u du = tg u + c. cosec2 u du = −cotg u + c. du 1
= a arc tg u + c. a u2 +a2

17.

du u2 −a2

18.

√ du u2 +a2
√ du u2 −a2
√ du
= arc sen u + c, a a2 −u2
1
√ du
= a arc sec u a u u2 −a2

19.
20.
21.

•
•

Integrais

= 21 ln a u−a u+a + c, u2 >