Derivadas Das Fun Es Trigonom Tricas

Derivadas das funções trigonométricas

Conceito de derivada
Recordemos que, dada uma função real de variável real f:I→R, definida num intervalo aberto I⊆R, define-se a derivada de f num ponto x∈I, através do limite (se existir) f′(x)=dfdx(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h Nesta fórmula h≠0 deve ser suficientemente pequeno para que x+h∈I.
Quando a variável x é expressa em radianos
Mas atenção que esta fórmula é válida apenas quando x e h são ambos expressos em radianos. Só assim é que conseguimos garantir que limh→0sinh2h2=1.
Quando a variável x é expressa em graus
Vamos usar de novo a fórmula sinp−sinq=2cosp+q2sinp−q2, válida quer p e q sejam expressos em graus ou radianos.
Suponhamos que x e h são ambos expressos em graus. Vem, então, que sin′(xº)=dsindx(xº)====limhº→0sin(xº+hº)−sinxºhºlimhº→02cos(xº+hº2)sinhº2hºlimhº→0cos(xº+hº2)limhº→0sinhº2hº2(cosxº)×π180º. Concluindo, sin′(xº)=dsindx(xº)=π180ºcosxº já que, como vimos nos Limites notáveis, quando h é expresso em graus limh→0sinh2h2=π180º.
Note que este resultado é bem mais complicado do que o anterior, devido ao aparecimento do factor extra π180º. Por isso há toda a conveniência em exprimir x em radianos, para que a derivada tenha uma expressão mais simples: sin′(x)=cosx.
Derivada da função cos
Consideremos a variável x expressa em radianos.
Podemos fazer uma dedução direta, usando a definição de derivada, e cálculos em tudo análogos aos que foram feitos para calcular a derivada de sin, quando x e h são ambos expressos em radianos. O resultado é cos′(x)=−sinx No entanto, é mais simples usar relações trigonométricas e a regra de derivação de função composta (regra da cadeia). Usamos, por exemplo, a relação trigonométrica cosx=sin(π2−x). Vem então que cos′(x)=−sin′(π2−x)=−cos(π2−x)=−sinx Derivada da função tan
Usamos a regra de derivação de um quociente (fg)=f′g−fg′g2, desde que as derivadas existam e o quociente faça sentido (aqui usámos óbvias simplificações de notação). Como tanx=sinxcosx, vem, com x≠(2k+1), k∈Z, que