Derivada - Engenharia

DERIVADA
Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O problema é a dificuldade em construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.

Ponto crítico de uma função derivável
Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f '(c)=0.

Exemplo: f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois f '(0)=0.

Teorema (Pierre Fermat)
Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f '(c)=0.

Observações
1. Pelo teorema, se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no ponto (c, f(c)).

2. Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta, x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.

3. Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f '(-1)=2 e f '(2)=-4.

Existe um critério que faz uso da primeira derivada para identificar se um ponto localizado no interior do domínio da função, é ponto de extremo (máximo ou mínimo) local para f.
Este critério se baseia nas seguintes idéias:
1. Se a função é crescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares positivos.
2. Se a função é decrescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares negativos.
3. Se existe algum ponto de extremo local a reta tangente ao gráfico neste ponto tem coeficiente angular zero.

Critério da