Demostraçoes estatisticas

Demonstre a E(x) e Var(x) para as distribuições discretas Binomial, Hipergeométrica, Poisson, Geométrica, Pascal e Multinomial.

● Distribuições Discretas:
Binomial:

X~Bin (n, p)
Para:

Onde “p” é a probabilidade de sucessos e “q” a probabilidade de fracassos, temos:

E para o cálculo da Variância, temos: Seja: Então:

Adotando-se segue que o cálculo da variância pode ser descrito como: Var(x) = Npq.

Hipergeométrica:

A partir de e de que são “sucesso" e são "fracassos" | | O valor esperado de “xi” é simplesmente: | | | | | | | | | | | | | | | |
Isso também pode ser calculado pela soma direta como: | | | | | | | |
A Variância é: | |
Desde que xi seja uma variável de Bernoulli, | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Então:
|
Para , a covariância é: | |
A probabilidade de i e j terem sucesso, quando i é diferente de j é: | | | | | | | | | | | |
Mas desde que “xi” e “ji” sejam variáveis aleatórias de Bernoulli (0 ou 1 cada), o produto é também uma variável de Bernoulli. Para que “xi” e ”ji” sejam um, os dois devem ser 1: | | | | | | | | | | | |
Usando a equação anterior com: | | | | | | | |
Temos:
| | | | | | | |
Há um total termos em uma soma dupla de . No entanto, fazendo i = j para estes N, existe um total de termos no somatório de covariância: | |
Combinando as equações, temos a variância: | | | | | | | |
Então o resultado final é: | |
E, desde que: | | e | |
Nós temos: | | | | | | | | | | | |
Isso também pode ser obtido através da soma direta: | | | | | | | |

Poisson:

Onde “p” é a probabilidade de sucessos e “q” a probabilidade de fracassos.
Calculo da média:

Geométrica:
X~Geo ( p)
Para:

Onde “p” é a probabilidade