Deflexão

J - Deformações na Flexão

10.0 – Deformações na Flexão.
Nos capítulos anteriores obtivemos expressões (com formatos semelhantes) que relacionam as deformações para cada um dos esforços solicitantes, a saber: δL N

δL = NL/EA

# na tração pura:
# no corte puro:

δh = QL/GA

# na torção* pura :

δh

δθ δθ = TL/GJP

Q
T

δθ

*eixos circulares

δϕ

δϕ δϕ = ML/EI

# na flexão pura:

M
L

10.1 – Deflexões por curvatura das vigas
No caso de uma viga reta carregada transversalmente, seu eixo longitudinal se encurvará tomando o formato da chamada linha elástica. O raio de curvatura da linha elástica será obtido, como visto através da equação 5.7.3, escrevendo (1/ρ) = M/EI. Realmente: a fig. 10.1.1 nos mostra que tg dϕ dϕ = ε ds / y.
Como ε = σ/E e σ = (Μ/Ι)y, obtem-se: dϕ / ds = M / E I............................. (10.1.1) sendo (EI) o chamado “produto de rigidez”.
Levando em conta que ds = ρ dϕ, chega-se a
5.7.3.
Por outro lado, nos cursos de Cálculo Diferencial determinou-se a curvatura (k = 1/ρ) das curvas planas como sendo dada por:

ρ

dϕ

ds y k = 1/ρ = (d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2

já que ds2 = dx2 + dy2.
Representando por “f” a ordenada correspondente à flecha do eixo neutro a cada valor da abscissa x da seção, e como a declividade das vigas
(df/dx = tgϕ) é sempre muito pequena, tornando o seu quadrado desprezível em presença da unidade, podemos escrever: df/dx = ϕ; 1/ρ = d2f/dx2 , obtendo-se a denominada “equação diferencial da linha elástica”:

(1 + ε) ds dϕ f (Flecha)

ρ
Eixo neutro da viga defletida

dϕ

ds dy f

x

ϕ

................(10.1.2)

d2f / dx2 = dϕ/dx = Μ/EI x dx

Fig. 10.1.1 – Flechas e deflexões nas vigas fletidas.

Conhecendo-se como variam o momento fletor
M e o momento de inércia I a cada ordenada x da seção, a integração sucessiva da equação 10.1.2 nos informará a deflexão ϕ = ϕ (x) e a flecha f = f(x).

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