Dedução da equação da onda

DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA
Consideremos uma corda flexível e elástica de comprimento L e densidade linear ρ, cujas extremidades estão fortemente presas por suportes verticais de tal forma que a corda esteja ao longo de um eixo x. Se a corda for posta em movimento por um movimento de tangência em um certo instante inicial t=0 e ficar livres de agentes externos de amortecimento como por exemplo a resistência do ar, ela vibrará livremente em um plano vertical. A fim de determinarmos a equação diferencial que descreve tal movimento, devemos considerar as forças que atuam sobre um pequeno elemento da corda de comprimento Δx, situado entre os pontos x e x+Δx. Devemos admitir ainda que tal movimento seja pequeno e por isso, cada ponto da corda só se desloque em um segmento de reta vertical o qual denotaremos por u(x,t). Temos que a tensão na corda, a qual sempre atua na direção tangencial será denotada por T(x,t) e a massa por unidade de comprimento da corda será denotada por ρ (densidade linear).

Pela segunda Lei de Newton, temos que a resultante das forças, que atuam em virtude de uma tensão nas extremidades do elemento, deve ser igual ao produto da massa do elemento pela aceleração do centro de massa do mesmo. Uma vez que não temos uma aceleração horizontal, as componentes horizontais devem obedecer:

T(x+Δx,t) . cos(θ+Δθ) - T(x,t) . cos(θ) = 0 (1)

Se representarmos a componente horizontal da tensão por H, como na figura 10.3 , então a equação (1) diz que H independe de x.
Por outro lado, a componente vertical obedece:

T(x+∆x,t).sen(θ+∆θ)- T(x,t).sen(θ) = ρ.Δx.utt(xm ,t) (2) onde xm é a coordenada do centro de massa do elemento da corda que está sendo analisado. Como é claro, x está no intervalo x < x < x+Δx. Devemos ainda considerar que o peso da corda atuando na vertical para baixo seja desprezível e por isso não aparece na equação (2).
Se a tensão for representada por sua componente