Cônicas e Quàdricas

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

THIAGO ARNON MOREIRA DE CASTILHO

Geometria Analítica e Álgebra Linear
Cônicas e Quádricas

CURITIBA
2012

Cônicas
Definindo o caso geral de cônicas obtemos que elas são curvas planas adquiridas por interseção de um cone circular reto com um plano.
Imaginemos duas retas e e r concorrentes entre si (com um ponto em comum) e não perpendiculares (ângulo diferente de 90º). Girando a reta r 360º em torno de e, formaremos uma superfície cônica. Nesse caso, a reta e será o eixo da superfície e a reta r, a geratriz da superfície cônica.

Secções Cônicas
Secções cônicas são gráficos de equações quadráticas e podem ser analisadas como cortes em um cone realizados através de planos.
• As chamadas cônicas não degeneradas são aquelas em que um plano qualquer que intercepta a superfície cônica não passa pelo vértice. Os tipos de cônicas geradas a partir dessa interseção são quatro e variam de acordo com o ângulo formado.
a) Circunferência – quando o plano for perpendicular ao eixo da superfície;
b) Elipse – quando o plano foi oblíquo ao eixo, cortando apenas uma das folhas;
c) Parábola – quando o plano for paralelo à geratriz da superfície;
d) Hipérbole – quando o plano for paralelo ao eixo da superfície.

• As cônicas degeneradas são as geradas quando um plano qualquer passa pelo vértice da superfície cônica. Dependendo da posição do plano, é possível gerar três tipos de cônicas degeneradas:
a) Ponto – quando o plano tiver em comum com a superfície apenas o vértice;
b) Uma reta – quando o plano tangenciar a superfície cônica;
c) Duas retas – quando o plano formar, com o eixo da superfície, um ângulo menor que o formado entre o eixo e a geratriz.

Parábola
Definição: Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é denominada Parábola de foco F e diretriz d o lugar geométrico dos pontos P tais que a distância de P a d é igual a distancia de P à F.

Dizemos que o ponto da parábola mais