cálculo

Lista M´ ınima de Exerc´ ıcios - Esbo¸o de Gr´fico/M´ximos e c a a M´ ınimos Exerc´ ıcio 1 Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, calcule todos os limites necess´rios e esboce o gr´fico de f , onde a a
2
x2

(a) f (x) = x +
(b) f (x) =

2x2 + 4x
2 + x2

(c) f (x) = x2 ex
(d) f (x) =

x ln x

(e) f (x) = xx , x > 0
Exerc´
ıcio 2 Para cada uma das fun¸˜es abaixo co • determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
• estude a concavidade e pontos de inflex˜o; a • esboce o gr´fico. a (a) f (x) = x4 − 2x3 + 2x
(b) f (x) = xe−2x
(c) f (x) = e−x − e−2x
√
(d) f (x) = 3 x2 − x3
(e) f (x) =

x3
1 + x2

(f ) f (x) = x ln x
Dica: Note que

x x3 =x−
.
2
1+x
1 + x2

Exerc´ ıcio 3 Prove que a equa¸˜o x3 − 3x2 + 6 = 0 admite uma unica raiz ca ´ real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.
1

Exerc´ ıcio 4 Prove para quaisquer que sejam x > 0, sen x > x −

x3
.
3!

Exerc´ ıcio 5 (a) Determine o n´mero real positivo cuja soma com o inu verso do seu quadrado seja m´nima. ı (b) Achar dois n´meros positivos cuja soma ´ 16 e cujo produto ´ o m´ximo u e e a poss´vel. ı
Exerc´
ıcio 6 Determine a altura do cone circular reto, de volume m´ximo, a inscrito na esfera de raio R dado.
Exerc´
ıcio 7 Um jardim retangular de 50m2 de ´rea deve ser protegido cona tra animais. Se um lado do jardim j´ est´ protegido por uma parede de a a celeiro, quais as dimens˜es da cerca de menor comprimento? o ıdrica, de 1 m3 de
Exerc´
ıcio 8 Deseja-se construir uma caixa, de forma cil´ volume. Nas laterais e no fundo sera utilizado material que custa 5, 00 reais o m2 e na tampa sera utilizado material que custa 10, 00 reais o m2 . Determine as dimens˜es da caixa que minimizem o custo do material empregado. o Exerc´ ıcio 9 (IME) As arestas laterais de uma pirˆmide regular com n faces a tˆm medida l. determine: e (a) a express˜o do raio do c´ a ırculo