Cálculo I

Universidade de Bras´ ılia Departamento de Matem´tica a C´lculo I a Prova 3 - 2.o /2003 - 03/12/2003
– Gabarito –
1) Considere as fun¸˜es f (x) = 8 x ex/3 e g(x) = 2 x3 , e sejam A1 e A2 as ´reas limitadas co a pelos gr´ficos dessas fun¸˜es e pelas retas x = ±1, conforme ilustra a figura a seguir. No a co que segue, use a aproxima¸˜o e1/3 = 1, 4. ca Observa¸˜o: os items dessa quest˜o diferiam de prova para prova, e segue uma solu¸˜o que ca a ca responde a todos eles.
a) Sobre a rela¸˜o de ordem entre as fun¸˜es f e g. ca co
Solu¸˜o: do gr´fico percebe-se que f (x) ca a g(x) para x ∈ [−1, 0], e que f (x) g(x) para x ∈ [0, 1].

A2
A1

b) Sobre as simetrias das fun¸˜es f e g em rela¸˜o ` co ca a origem. Solu¸˜o: a fun¸˜o g ´ ´ ca ca e ımpar, isto ´, g(−x) = g(x). Logo, usando mudan¸a de vari´veis, e c a 0
1
obt´m-se que −1 g(x) dx = − 0 g(x) dx. J´ a fun¸˜o f n˜o tem essa propriedade, e e a ca a
0
1 um c´lculo simples mostra que −1 f (x) dx = − 0 f (x) dx. a c) Sobre a express˜o da ´rea A1 . a a
Solu¸˜o: no intervalo [−1, 0], tem-se que f (x) ca 0 por A1 = −1 (g(x) − f (x)) dx.
d) Sobre o c´lculo da integral a 1
0

g(x), e portanto a ´rea A1 ´ dada a e

f (x) dx.

ca e Solu¸˜o: usando integra¸˜o por partes, obt´m-se ca 8 x ex/3 dx = 8

x 3 ex/3 −

3 ex/3

= 8 3 x ex/3 − 9 ex/3 = 24 ex/3(x − 3) + C.

Segue-se que F (x) = 24 e1/3 (x − 3) ´ uma primitiva para f (x). Usando esse fato e o e 1
1/3
valor e = 1, 4, obt´m-se que 0 f (x) dx ≈ 4, 8. Assim, a integral e menor que 6. e e) Sobre o c´lculo da soma A1 + A2 . a Solu¸˜o: usando as primitivas de f e g, obt´m-se que ca e
0

A1 =

0

= 24(3 − 4 e−1/3 ) − 1/2

(g(x) − f (x)) dx = (G(x) − F (x))
−1

−1

e

1

A2 =

1

(f (x) − g(x)) dx = (F (x) − G(x))
0

0

= 24(3 − 2 e1/3 ) − 1/2

Com o valor de e1/3 = 1, 4 obt´m-se que A1 + A2 ≈ 7, 2. Assim, a soma ´ menor que 8. e e

2) Recentemente, um