Cálculo - Séries

S É R I E S

INTRODUÇÃO

As séries de potências são úteis tanto na teoria quanto nas aplicações. Elas são utilizadas na solução de vários problemas numéricos, bem como para expressar funções, contribuindo para a sua compreensão. São empregadas também para definir funções difíceis ou impossíveis de serem estudadas na forma analítica. Como exemplo, pode-se citar a integral que não pode ser expressa através de nenhuma função elementar e que tem fácil solução através de séries de potência. Um exemplo de equação diferencial, cuja solução se torna simples com sua utilização é .
Sua compreensão requer o conhecimento de série infinita, ou simplesmente série que é definida através do conceito de sequência, por onde se inicia este texto.

1. SEQUÊNCIAS
1.1 CONCEITO:
Sequência é uma função definida para todo número inteiro positivo n: se a cada inteiro positivo n corresponde um determinado número, que será chamado de , então se diz que os valores formam uma sequência (também conhecida como sucessão). Fazendo analogia com as funções , pode-se escrever: , onde n é a variável livre e a variável dependente. Usualmente, a sequência: é escrita, abreviadamente como ou simplesmente . Exemplo:
a)
b)
c)
Na definição, às vezes se permite que o primeiro valor de n seja zero, como no exemplo: obtendo-se uma sequência igual à do exemplo a, onde o primeiro valor da variável livre é 1.
Os valores da variável dependente são chamados de termos da sequência.
Uma sequência recebe o nome de LIMITADA quando existem dois números A e B tais que , para todo valor de n. O termo A tem o nome de MINORANTE e B, de MAJORANTE. Se a sequência não é limitada, recebe o nome de ilimitada. Os exemplos anteriormente citados são de sequência limitada. Como exemplo de sequência ilimitada, pode-se citar a sequência dos quadrados dos números inteiros positivos, onde o minorante é 1 e o majorante não existe.
Se uma sequência , ou , tem um número ℓ como LIMITE então para cada