cálculo sistemas algébricos

SISTEMA DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
Introdução
São inúmeros os problemas de engenharia onde se recai na solução de um sistema de equações lineares.
Como exemplos, podemos citar:
• O cálculo de esforços em problemas de estática;
• O cálculo de tensões e correntes em um circuito elétrico composto por elementos lineares;
• O balanço de massa em sistemas físicos lineares;
• A solução de equações diferenciais lineares por métodos numéricos como elementos finitos e diferenças finitas, etc. Formulação
Forma geral: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x2 + a 22 x2 + ... + a 2n x n = b2 a 31 x1 + a 32 x2 + ... + a 3n x n = b3
M

M

M

M

a n1 x1 + a n2 x 2 + ... + a nn x n = bn

onde a e b são constantes e n é o número de equações.

Representação Matricial
 a11 a12 ... a1n  x1   b1 
   

... a a a  b2 
 21
22
2 n  x2 
 .
. .. .  .  =  . 
   

.
.
.  .   . 
 .
   
a
 n1 an 2 ... ann  xn   bn 

Ax = b
Classificação dos Sistemas
2 x1 + x 2 = 6
Incompatível. Ex.: 4 x + 2 x = 18
2
 1

Determinado - solução única

- Compatível Indeterminado - diversas soluções.
Homogêneo (b = 0)


Métodos de Solução
Classificam-se, numericamente, em Diretos e Iterativos.
Os métodos mais comuns são:

Método de Gauss

− Diretos Método da Eliminação de Jordan
Fatoração LU e Choleski

Método de Jacobi
− Iterativos 
Método de Gauss − Seidel

Método da Triangulação de Gauss
Principio do método:
• Dado um sistema linear Ax = b, obter, através de transformações elementares um sistema equivalente, Tx = c, onde T é uma matriz triangular superior.
• Em seguida calculam-se os elementos do vetor x através de um processo de substituição reversa.

Transformações Elementares
• Troca da ordem das equações;
• Multiplicação de uma equação por um real não nulo;
• Substituição de uma equação por uma combinação linear dela mesma com uma outra;