Cálculo Numérico

Cálculo Numérico
Capítulo IV.- Resolução numérica de sistemas de equações

Introdução
Método de eliminação de Gauss.
Pivotamento.
Norma de um vetor
Método iterativo de Jacobi
Método iterativo de Gauss-Seidel
Convergência dos métodos iterativos
Fatoração LU
Exercícios

Bibliografia: Numerical Recipes in Fortran 77 Cálculo Numérico, Ruggiero et al.

Introdução

Quando se trabalha no cálculo de estruturas, em redes elétricas e na solução de equações diferenciais, freqüentemente aparece o problema de solucionar um sistema linear de n equações e n incógnitas. O sistema tem a forma:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x2 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 (1)

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

que sob a forma matricial pode ser escrita como:

A.x=b (2)

Onde A é uma matriz quadrada de ordem n, e x e b, vetores:

e (3)

Definição: O vetor x=(x1, x2 , ... , xn)t constitui uma solução do sistema se para ele cada uma das equações do sistema acima é satisfeita.
Um sistema linear pode ser classificado da seguinte maneira:
1) compatível (quando tem alguma solução)
a) determinado (quando possui uma única solução)
b) indeterminado (quando possui infinitas soluções)
2) incompatível (quando não possui solução)

Seja um sistema da forma A.x=b onde aij = 0 se j < i.

(4)

Um sistema deste tipo é chamado de triangular superior. Note que este tipo de sistema tem solução imediata através do chamado processo retroativo: da enésima equação obtenha o valor de xn, substitua este valor na equação de número de ordem (n – 1) e obtenha o valor de xn-1, substitua estes dois valores na equação de número de ordem (n – 2) e obtenha o valor de xn-2, ... , até chegar na primeira equação onde substituirá os valores de xn, xn-1, xn-2, ... , x4, x3 e x2 para obter o valor solução de