Cálculo numérico - método da secante

Método da Secante.
O método da secante não é mais uma variante do método de Newton-Raphson. Ele evita o cálculo da derivada da função f(X) (desvantagem no método de Newton). No método da secante, a derivada é substituída por f ’ (Xk) = f(Xk) – f(Xk – 1)
Xk - Xk – 1

Onde Xk e Xk-1 são duas aproximações para a raiz. Neste caso, a função de interação fica:

φ(Xk) = Xk - _____f(Xk)_____ = Xk - f(Xk)____ . (Xk – Xk-1) f(Xk) – f(Xk-1) f(Xk) – f(Xk-1) Xk – Xk-1

Ou ainda, φ(Xk) = Xk-1 . f(Xk) – Xk f(Xk-1) f(Xk) – f(Xk-1)

Observa-se que são necessárias duas aproximações para se iniciar o método.

Interpretação Geométrica:
Onde X1 e X0 são chutes iniciais e após o primeiro cálculo, determina-se a reta que passa pelos pontos (X0, f(X0)) e (X1, f(X1)). A intersecção desta reta com o eixo x fornece o ponto X2. Em seguida é calculado uma nova aproximação para a raiz a partir dos pontos (X1, f(X1)) e (X2, f(X2)). O processo se repete até que seja satisfeito o critério de parada.

Comentários Finais

Visto que o método da secante é uma aproximação para o método de Newton, as codições para a convergência do método são praticamente as mesmas; acrescente-se ainda que o método pode convergir se f(Xk) ≈ f(Xk-1). A exigência de que f(Xk).f(Xk-1)<0. A raiz não precisa estar entre as duas aproximações iniciais (X0 e X1).

A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do método de Newton, mas também não é apenas linear. Nos métodos com chute inicial (MPF, Newton ou Secante) tem um erro muito pequeno, na ordem de 10^-6.

O erro é dado por |Xk+1 – Xk| ≤ erro.

O método da Secante Modificado

No método da Secante Modificado, trocamos o parâmetro variável δX, um número constante de valor arbitrário especificado pelo usuário. Ele deve ser pequeno o suficiente para melhorar a precisão do