Cálculo Numérico - Gauss e Mínimo Quadrados

NOTA:

Avaliação 02 – Grau 2
Nome: _____________________________________________
Professora: Denise da Rosa Araujo
Disciplina: Cálculo Numérico
Curso: __________________________ Data: 15 / 06 / 2015

1. Resolva o sistema abaixo utilizando o método de Gauss‐Jacobi com uma precisão ε = 3.10–2 e vetor inicial x(0) = [−5 7]T.
4x1 − x2 = −28,1
−28,1
4 −1
A=ቂ
ቃ b=ቂ
ቃ
3x1 − 5x2 = −52,1
−52,1
3 −5
Para sistema 2x2 bଵ aଵଶ (୩ିଵ)
−28,1 −1 (୩ିଵ)
(୩)
(୩)
(‫)ܓ‬
(‫ିܓ‬૚)
−
xଶ
→ xଵ =
−
xଶ
→ ‫ ܠ‬૚ = −ૠ, ૙૛૞ + ૙, ૛૞‫ ܠ‬૛ xଵ =
4
4 aଵଵ aଵଵ b a
−52,1
3 (୩ିଵ)
ଶ
ଶଵ (୩ିଵ)
(୩)
(୩)
(‫)ܓ‬
(‫ିܓ‬૚) xଶ =
−
xଵ
→ xଶ =
−
x
→ ‫ ܠ‬૛ = ૚૙, ૝૛ + ૙, ૟‫ ܠ‬૚ aଶଶ aଶଶ
−5
−5 ଵ k=1 (ଵ)
(଴)
xଵ = −7,025 + 0,25xଶ = −7,025 + 0,25 . 7 = –5,275
(ଵ)
(଴) xଶ = 10,42 + 0,6xଵ = 10,42 + 0,6 . (–5) = 7,42
ERRO
(୩ାଵ)
(୩ାଵ)
(୩)
= ቚx୧
− x୧ ቚ
E୧
(ଵ)

(ଵ)

(଴)

(ଵ)

(ଵ)

(଴)

Eଵ = ቚxଵ − xଵ ቚ = |–5,275 + 5| = 0,275

(‫)ܓ‬

Eଶ = ቚxଶ − xଶ ቚ = |7,42 – 7| = 0,42
(୩)

Eୖ =

(ౡ)

୉ఽ

(ౡ)
୫ୟ୶భರ౟ರ౤ ቚ୶౟ ቚ

(୩ାଵ)

E୅

۳‫ = ۯ‬0,42

(ଶ)

଴,ସଶ

(ଵ)

Eଶ = ቚxଶ − xଶ ቚ = |7,255 – 7,42| = 0,165
(୩)

଴,ଵ଺ହ

(୩)

− x୧ ቚ

= ଻,ସଶ = 0,056604 > ε

k=2
(ଶ)
(ଵ) xଵ = −7,025 + 0,25xଶ = −7,025 + 0,25 . 7,42 = –5,17
(ଶ)
(ଵ) xଶ = 10,42 + 0,6xଵ = 10,42 + 0,6 . (–5,275) = 7,255
ERRO
(ଶ)
(ଶ)
(ଵ)
Eଵ = ቚxଵ − xଵ ቚ = |–5,17 + 5,275| = 0,105
(ଶ)

(୩ାଵ)

= maxଵஸ୧ஸ୬ ቚx୧

Eୖ = ଻,ଶହହ = 0,022743 < ε

Solução: x = ൤

(‫)ܓ‬

۳‫ = ۯ‬0,165

−૞, ૚ૠ
൨
ૠ, ૛૞૞

2. Resolva o sistema anterior utilizando o método de Gauss‐Seidel.
Para sistema 2x2 bଵ aଵଶ (୩ିଵ)
(୩)
(‫)ܓ‬
(‫ିܓ‬૚)
xଵ =
−
xଶ
→ ‫ ܠ‬૚ = −ૠ, ૙૛૞ + ૙, ૛૞‫ ܠ‬૛ aଵଵ aଵଵ bଶ aଶଵ (୩)
(୩)
(‫)ܓ‬
(‫)ܓ‬
xଶ =
−
xଵ → ‫ ܠ‬૛ = ૚૙, ૝૛ + ૙, ૟‫ ܠ‬૚ aଶଶ aଶଶ

1

k=1
(ଵ)
(଴) xଵ = −7,025 + 0,25xଶ = −7,025 + 0,25 . 7 = –5,275
(ଵ)
(ଵ) xଶ = 10,42 + 0,6xଵ = 10,42 + 0,6 . (–5,275) = 7,255
ERRO
(୩ାଵ)
(୩ାଵ)
(୩)
E୧
= ቚx୧
− x୧ ቚ
(ଵ)

(ଵ)

(଴)

(ଵ)

(ଵ)

(଴)

Eଵ = ቚxଵ − xଵ ቚ = |–5,275 + 5| = 0,275

(‫)ܓ‬

Eଶ = ቚxଶ − xଶ ቚ = |7,255 – 7| = 0,255
(୩)

Eୖ =

(ౡ)

୉ఽ

(ౡ)
୫ୟ୶భರ౟ರ౤ ቚ୶౟ ቚ

=

଴,ଶ଻ହ
଻,ଶହହ

(୩ାଵ)

E୅

۳‫ = ۯ‬0,275

(ଶ)

(୩)

଴,଴଺ଷ଻ହ଴

(୩)

− x୧ ቚ